elektrische Filter aus aktiven Bauteilen


© Dezember 2020, letzte Änderung am 22.10.21

Übersicht

Auf umliegenden Seiten habe ich…
Spannungsteiler und passive Filter
  TP, HP, BP, BS, AP, Doppel-T, Wien-Brücke, etc.
allgemeine OP-Schaltungen   Addierer, Subtrahierer, Instrumenten-Verstärker,
  Integrator, Differenzierer, NIC, Gyrator, Oszillator, etc.
aktive Filter nach Charakter und Aufbau   Güte, Dämpfung,
  Tschebyscheff, Cauer, Butterworth, Legendre, Bessel, Thomson,
  FIR, Nyquist, Raised-Cosine, RRC, Gauß,
  IIR, Sallen-Key, MLF, Linkwitz-Riley, etc.
spezielle Filter Equalizer, BiQuad, State Variable, etc.
 

Aktive Filter haben viele Vorteile:

Tiefpass 1. Ordnung

TP1 mit Amp

V = - (R2 || 1/jωC) / R1 = - R2 / (R1 (1 + jωR2C) )

Mit folgenden Gleichungen ergibt sich die allgemeine Form.

ω0 = 1/(R2C) = 1 / T;   R2/R1 = k   und   jω + δ = s

V = - k / (1 + jω/ω0) = - k / (1 + Ts)

Alternativ, kann ein passiver RC-Tiefpass aufgebaut werden,
welcher dann von einen hochohmigen positiven Verstärker gepuffert wird.

Zum Anfang

Hochpass 1. Ordnung

HP1 mit Amp

V = - R2 / (R1 + 1/jωC) = - jωR2C / (1 + jωR1C)

Mit folgenden Gleichungen ergibt sich wider die allgemeine Form.

ω0 = 1/(R1C)   und   - R2/R1 = k

V = k jω/ω0 / (1 + jω/ω0) = k Ts / (1 + Ts)

Siehe auch passiver RC-Hochpass oder passiver RL-Hochpass.

Zum Anfang

Tiefpass 2. Ordnung nach Sallen-Key

Die allgemeine Übertragungsfunktion eines TP2-Systems lautet wie folgt.

G(s) = b0 / ( a2s2 + a1s + 1 )

Wenn die Güte nicht so hoch sein braucht
(ca. Q < 3 - hängt z.B. von Eckfrequenz & OP ab),
kann man den Tiefpass als Sallen-Key-Filter realisieren, wie hier dargestellt.

TP2 mit Amp

Über die Knotenregel erhalte ich…

(E - U) / R1 + (A - U) / Z1 - U / (R2 + Z2) = 0

→ E / R1 = U / R1 - A / Z1 + U / Z1 + U / (R2 + Z2)

Da die Spannungdifferenz der Eingänge des OPs = Null ist, folgt daraus…

U Z2 / (R2 + Z2)   =   A R3 / (R3 + R4)   mit   V = (R3 + R4) / R3

→ U =   A (jωR2C2 + 1) / V

Dies oben eingesetz mit   Z1 = 1 / jωC1   bzw.   Z2 = 1 / jωC2   ergibt eine etwas sperrige Formel,
welche ich wieder eingescannt habe.

sallen-key formel

b0 = V;   V = (R3 + R4 ) / R3
a2 = T2 = R1R2C1C2
a1 = 2DT = R1C1 - R1C1V + R1C2 + R2C2   Stabil für   R1C1 + R1C2 + R2C2 > R1C1V

Allgemeines Vorgehen

Aufgrund der gröberen Rasterung und Auswahl, wähle ich zunächst die Kondensatoren (im Bereich 1 nF… 680 nF).
Bei Werte darunter sollte die OP-Eingangs-Kapazität und evtl. die Leiterbahnkapazität mit berücksichtigt werden.
Werte darüber werden nicht nur unhandlich groß,
sondern deren Impedanz ist dann in der Größenordnung des Ausgangswiderstandes des OPs.

Danach berechne ich bei vorgegebener Eckfrequenz die Widerstände aus.
Sind diese außerhalb von z.B. 390 Ω…50 KΩ, fange ich wieder von vorne an.
Bei zu niedrigen Werten ist wieder mit einer Verfälschung durch den OP Ausgangswiderstand zu rechnen.
Bei zu hochohmigen Aufbau, ist Rauschen und der OP Eingangswiderstand ein Problem.

Abgesehen davon, ist der OP kein ideales Bauteil…
Das kann dazu führen, dass sowohl die Eckfrequenz alsauch die Dämpfung nicht erreicht werden.
Desweiteren, kann diese Schaltung schwingen.

Also oberhalb der "Resonanzspitze" sollte im Amplitudendiagramm noch eine Reserve
von ca. 40 dB (1% Fehler am OP Ausgang) sein,
berechenbar oder zeichenbar durch die Diagonale gebildet aus OP-Bandbreite und open-loop Verstärkung.
Um das zu überprüfen, ist es sinnvoll in einer Schaltungssimulation
(mit adäquaten OP-Modell) ein wenig mit den R & C Werten zu spielen.

Siehe z.B.
elektronikentwickler-aachen.de   Berechnung der Kapazität von Leiterbahnen
de.wikipedia.org   Ngspice
okawa-denshi.jp   Sallen-Key Low-pass Filter Design Tool

Widerstände und Kondensatoren beim Sallen-Key-TP gleich setzen

Ein Ansatz wäre, alle Widerstände und Kondensatoren gleich zusetzen.

→ T = RC   und   2DT = RC (3 - V) → V = 3 - 2D

Der Charakter des Filters ist dann offensichtlich nur vom Verstärkungsfaktor abhängig…

SK-TP Charakteristik
Welligkeit
Güte Q Dämpfung
D = 1 / 2Q
Verstärkung V
ungedämpft Q = ∞ D = 0 3
realistisches Maximum Q < 3 D > 1 / 6 ≈ 0,16678/3 ≈ 2,667
Tschebyscheff 3 dB Q ≈ 1,304 D ≈ 0,3833 ≈ 2,233
Tschebyscheff 2 dB Q ≈ 1,129 D ≈ 0,4430 ≈ 2,114
Tschebyscheff 1,5 dB Q = 1 D = 0,5 2
Tschebyscheff 1 dB Q ≈ 0,957 D ≈ 0,5227 ≈ 1,955
Butterworth ε = 0 Q = D = √(0,5) ≈ 0,707 ≈ 1,586
Bessel Q ≈ 0,5774 D ≈ 0,8660 ≈ 1,268
kritische Dämpfung Q = 0,5 D = 1 1

Beim Sallen-Key-TP Spannungsteiler für Verstärkung entfernen

Ein weiterer Ansatz wäre, den Spannungsteiler, bestehend aus R3 und R4, zu entfernen.

→ V = 1   und   T2 = R1R2C1C2   und   2DT = (R1 + R2) C2

Zur weiteren Vereinfachung stelle ich mir vor, alle Widerstände und Kondensatoren sind zunächst gleich.
Nun kann ich durch "verstimmen" der Widerstände oder Kondensatoren meine Dämpfung beeinflussen
ohne das die Eckfrequenz driftet.
Also, kann ich erst einmal folgendes ansetzen.

R1 n = R = R2 / n   bzw.   C1 m = C = C2 / m

Damit ergibt sich…   T = RC   und   D = m (1 + n2 ) / 2n

bzw. nach   n   aufgelöst ergibt das

n2 - 2Dn / m + 1 = 0   →   n1,2 = D / m ± √(D2 / m2 - 1)

Da man weis, das sich die Dämpfung sinnvollerweise nur in einen bestimmten Bereich bewegt z.B.   0 < D < 1
…und man ein reales  n  möchte, sollte  D > m   sein.

Das lässt sich nur erreichen, wenn folgendes gegeben ist.   R1 ≠ R2   bzw.   n ≠ 1

Für beispielsweise   m2 = 0,1   also   C1 = 10 C2   und   R1 n = R = R2 / n   bekomme ich folgende Tabelle.

SK-TP Charakteristik
Welligkeit
Güte Q Dämpfung
D = 1 / 2Q
n für
C1 = 10 C2
n für
C1 = 100 C2
ungedämpft Q = ∞ D = 0 nicht möglich nicht möglich
Q = 10 D = 1 / 20 = 0,05 nicht möglich nicht möglich
Q = 3 D = 1 / 6 ≈ 0,1667 nicht möglich 3
realistisches Maximum Q = 1,5 D = 1 / 3 ≈ 0,3333≈ 1,387 ≈ 6,513
Tschebyscheff 3 dB Q ≈ 1,304 D ≈ 0,3833 ≈ 1,897 ≈ 7,532
Tschebyscheff 2 dB Q ≈ 1,129 D ≈ 0,4430 ≈ 2,382 ≈ 8,746
Tschebyscheff 1,5 dB Q = 1 D = 0,5 ≈ 2,806 ≈ 9,899
Tschebyscheff 1 dB Q ≈ 0,957 D ≈ 0,5227 ≈ 2,969 ≈ 10,36
Butterworth ε = 0 Q = D = √(0,5) ≈ 0,707 ≈ 4,236 ≈ 14,07
Bessel Q ≈ 0,5774 D ≈ 0,8660 ≈ 5,288 ≈ 17,26
kritische Dämpfung Q = 0,5 D = 1 ≈ 6,162 ≈ 19,95

Da   D > m   erforderlich ist, komme ich in diesem Beispiel für   C1 = 10 C2   nur bis etwa   D > 0,3162.
Sollte das nicht reichen, kann ich immer noch der Verhältnis der Kondensatoren vergrößern
Siehe letzte Spalte   C1 = 100 C2

Zum Anfang

Tiefpass 2. Ordnung mit MLF

Die allgemeine Übertragungsfunktion eines TP2-Systems lautet wie folgt.

G(s) = b0 / ( a2s2 + a1s + 1 )

Benötige ich ein Filter höherer Güte oder
komme ich näher an das Bandbreiten Verstärkungs Produkt des OPs heran,
ist es besser etwas mehr Aufwand (ein Widerstand), als beim Sallen-Key-Filter, zu betreiben.

Der multible loop feedback - MLF-Filter ist damit fast immer stabil,
vorausgesetzt der OP kann hinreichend, als Ideal betrachtet werden…

MLF TP2 mit Amp

Da die Eingangsdifferenzspannung des OPs = 0 ist und kein Strom in den Eingang fließt, folgt.

U / R3 = - A / Z2

Und mit der Knotenregel erhalte ich…

(E - U) / R1 = (U - A) / R2 + U / R3 + U / Z1

MLF TP2 formel

b0 = V < 0;   Die DC-Verstärkung ergibt sich zu   V = - R2 / R1
a2 = T2 = R2R3C1C2   In T ist kein R1 enthalten…
a1 = 2DT = - V R3C2 + R3C2 + R2C2   Der Term   2DT   ist immer positiv bzw. stabil.

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Teil der Widerstände beim MLF-TP gleich setzen

Ein Ansatz wäre, alle Kondensatoren und die Widerstände   R2 = R = R3   gleich zusetzen.

→ T = RC   und   2DT = (2 - V) RC → V = 2 - 2D

Für eine Dämpfung im Bereich   0 < D < 1   kommt da allerdings nur eine nicht realisierbare positive Verstärkung heraus…

Wenn ich allerdings erlaube die Kondensatoren zu "verstimmen", habe ich eine Chance auf eine Lösung.

Aus   C1 m = C = C2 / m   und   R2 = R = R3   ergibt sich folgendes   V = 2 - 2D / m

Für eine negative Verstärkungen muss   D > m   sein.

Wenn ich beispielsweise   m2 = 0,1   setze, bekomme ich folgende Tabelle

MLF-TP Charakteristik
Welligkeit
Güte Q Dämpfung
D = 1 / 2Q
Verstärkung V
für C1 = 10 C2
Verstärkung V
für C1 = 100 C2
ungedämpft Q = ∞ D = 0 +2 nicht möglich +2 nicht möglich
Q = 3 D = 1 / 6 ≈ 0,1667≈0,9 nicht möglich≈ -1,333
realistisches Maximum Q = 1,5 D = 1 / 3 ≈ 0,3333≈ -0,108 ≈ -4,667
Tschebyscheff 3 dB Q ≈ 1,304 D ≈ 0,3833 ≈ -0,424 ≈ -5,665
Tschebyscheff 2 dB Q ≈ 1,129 D ≈ 0,4430 ≈ -0,802 ≈ -6,860
Tschebyscheff 1,5 dB Q = 1 D = 0,5 ≈ -1,162 -8
Tschebyscheff 1 dB Q ≈ 0,957 D ≈ 0,5227 ≈ -1,306 ≈ -8,454
Butterworth ε = 0 Q = D = √(0,5) ≈ 0,707 ≈ -2,472 ≈ -12,14
Bessel Q ≈ 0,5774 D ≈ 0,8660 ≈ -3,477 ≈ -15,32
kritische Dämpfung Q = 0,5 D = 1 ≈ -4,325 ≈ -18,00

Eine weitere Spreizung der Kondensatorenwerte macht wahrscheinlich keinen Sinn…

MLF-TP ohne DC-Verstärkung

Ein weiterer Ansatz wäre, die Gleichsetzung der Widerstände   R1 = R = R2.
Dadurch wird die DC-Verstärkung   V = - 1 = - R2 / R1 .

Das Verhältnis zum verbleibenden Widerstand bezeichne ich dann mit   R = R3 / n2
bzw. das Verhältnis der Kondensatoren definiere ich zu   C1 m = C = C2 / m

→ T = RCn   und   2DT = (2n2 + 1) RCm

→ D = (2n2 + 1) m / 2n   oder   n2 - Dn / m + 1 / 2 = 0   → n1,2 = D / 2m ± √(D2 / 4m2 - 1 / 2 )

Für reale   n   sollte   D2 > 2m2   sein.

Mit den Beispiel  m2 = 0,1   also   C1 = 10 C2   und   R = R3 / n2   folgt folgende Tabelle

MLF-TP Charakteristik
Welligkeit
Güte Q Dämpfung
D = 1 / 2Q
n für
C1 = 10 C2
n für
C1 = 100 C2
Q = 10 D = 0,05 nicht machbar nicht machbar
Q = 3 D ≈ 0,1667 nicht machbar ≈ 1,274
Tschebyscheff 3 dB Q ≈ 1,304 D ≈ 0,3833 nicht machbar ≈ 3,697
Tschebyscheff 2 dB Q ≈ 1,129 D ≈ 0,4430 nicht machbar ≈ 4,314
Tschebyscheff 1,5 dB Q = 1 D = 0,5 ≈ 1,144 ≈ 4,898
Tschebyscheff 1 dB Q ≈ 0,957 D ≈ 0,5227 ≈ 1,254 ≈ 5,130
Butterworth ε = 0 Q = D = √(0,5) ≈ 0,707≈ 1,984 7
Bessel Q ≈ 0,5774 D ≈ 0,8660 ≈ 2,542 ≈ 8,602
kritische Dämpfung Q = 0,5 D = 1 ≈ 2,995 ≈ 9,950

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Hochpass 2. Ordnung nach Sallen-Key

Durch vertauschen der Kondensatoren mit den Widerständen erhalte ich aus den PT2 ein D2T2-System.

G(s) = b2s2 / ( a2s2 + a1s + 1 )

Die entsprechende Schaltung lässt sich beispielsweise als Sallen-Key Hochpass realisieren.

HP2 mit Amp in sallen-key ausführung

Im Vergleich zum Sallen-Key-Tiefpass ist die Konstante   2DT   leicht anders.

b2 = a2V;   V = (R3 + R4) / R3
a2 = T2 = R1R2C1C2
a1 = 2DT = R1C1 + R2C2 - R2C2V + R1C2

Beim Sallen-Key HP Widerstände und Kondensatoren gleich setzen

Für   R1 = R = R2   und   C1 = C = C2

bleibt nur noch veränderlich die Verstärkung   V = (R3 + R4 ) / R3

→ T = RC   und   V = 3 - 2D

Weitere Schritte, wie beim Tiefpass 2. Ordnung nach Sallen-Key.

Beim Sallen-Key HP Verstärkung auf 1 setzen

Für eine AC-Verstärkung bei hohen Frequenzen   V = 1   und
Verstimmung der Widerstände oder Kondensatoren gemäß…

R1n = R = R2 / n   und   C1m = C = C2 / m

ergiebt sich   → T = RC   und   D = (1 + m2) / 2nm

bzw. n = (1 + m2) / 2Dm = (1 + m2) Q / m

n   ist also immer positiv, egal wie   D   oder   m   ist.
Wenn ich beispielsweise   m2 = 0,1   setze, bekomme ich folgende Tabelle.

SK-HP Charakteristik
Welligkeit
Güte Q = 0,5 n
für C1 = C2
Dämpfung
D = 1 / 2Q
n für
C1 = 10 C2
ungedämpft Q = ∞ D = 0 nicht möglich
Q = 10 D = 1 / 20 = 0,05 ≈ 34,79
Q = 3 D = 1 / 6 ≈ 0,1667≈ 10,44
realistisches Maximum Q = 1,5 D = 1 / 3 ≈ 0,3333≈ 5,218
Tschebyscheff 3 dB Q ≈ 1,304 D ≈ 0,3833 ≈ 4,538
Tschebyscheff 2 dB Q ≈ 1,129 D ≈ 0,4430 ≈ 3,926
Tschebyscheff 1,5 dB Q = 1 D = 0,5 ≈ 3,479
Tschebyscheff 1 dB Q ≈ 0,957 D ≈ 0,5227 ≈ 3,327
Butterworth ε = 0 Q = D = √(0,5) ≈ 0,707 ≈ 2,460
Bessel Q ≈ 0,5774 D ≈ 0,8660 ≈ 2,008
kritische Dämpfung Q = 0,5 D = 1 ≈ 1,739

Zum Anfang

Hochpass 2. Ordnung mit MLF

Durch vertauschen der Kondensatoren mit den Widerständen erhalte ich aus den PT2 ein D2T2-System.

G(s) = b2s2 / ( a2s2 + a1s + 1 )

Den entsprechenden invertierenden Filter lässt sich auch in MLF - multible loop feedback Topologie realisieren.

HP2 mit Amp in MLF Ausführung

Im Vergleich zum MLF-Tiefpass ist die Konstante   2DT   ähnlich aufgebaut.

b2 = a2V
V = - C1 / C2
a2 = T2 = R1R2C2C3
a1 = 2DT = R1 (C1 + C2 + C3) = R1 (C2 - VC2 + C3)

Beim MLF-HP Widerstände und ein Teil der Kondensatoren gleich setzen

Für   R1 = R = R2   und   C2 = C = C3   und   V = - C1 / C

→ T = RC   und   V = 2 - 2D

Wie beim MLF-Tiefpass 2. Ordnung zu sehen, war keine negative Verstärkung für 0 < D < 1 möglich.

Weitere Schritte kann man sich aber sowiso ersparen,
da das Verhältnis der Kondensatoren C1 / C2 ,
welches die Verstärkung bestimmt, eh nicht in so einen feinen Raster,
wie Widerstände, zu bekommen ist.

Beim MLF-HP die AC-Verstärkung auf - 1 setzen

Durch gleichsetzen aller Kondensatoren   C1 = C2 = C3 = C   wird die AC-Verstärkung für hohe Frequenzen   V = - 1

Wenn ich nun wieder folgende Abhänigkeit definiere   R1 n = R = R2 / n  bekomme ich folgendes.

→ T = RC   und   n = 3 / 2D

Damit ergibt sich dann folgende Tabelle:

MLF-HP Charakteristik
Welligkeit
Güte Q Dämpfung
D = 1 / 2Q
n für
R1 n = R = R2 / n
ungedämpft Q = ∞ D = 0 nicht möglich
Q = 10 D = 1 / 20 = 0,05 30
Q = 3 D = 1 / 6 ≈ 0,1667 9
realistisches Maximum Q = 1,5 D = 1 / 3 ≈ 0,3333 4,5
Tschebyscheff 3 dB Q ≈ 1,304 D ≈ 0,3833 ≈ 3,914
Tschebyscheff 2 dB Q ≈ 1,129 D ≈ 0,4430 ≈ 3,386
Tschebyscheff 1,5 dB Q = 1 D = 0,5 3
Tschebyscheff 1 dB Q ≈ 0,957 D ≈ 0,5227 ≈ 2,287
Butterworth ε = 0 Q = D = √(0,5) ≈ 0,707 ≈ 2,121
Bessel Q ≈ 0,5774 D ≈ 0,8660 ≈ 1,732
kritische Dämpfung Q = 0,5 D = 1 1,5

Zum Anfang

Bandpass 2. Ordnung nach Sallen-Key

Um einen Bandpass zu erhalten, reicht es nicht mehr aus nur Kondensatoren mit Widerständen zu vertauschen.
Zumindest ist ein Bandpass ein DT2-System mit folgender Gleichung.

G(s) = b1s / ( a2s2 + a1s + 1 )

Die entsprechende Schaltung lässt sich beispielsweise als Sallen-Key Bandpass wie folgt realisieren.

sallen key BP mit Amp

Im Vergleich zum Sallen-Key-Tiefpass ist die Konstante   2DT   gänzlich anders.

V = (R4 + R5) / R4
b1 = R2C2V   R3 / (R1 + R3)
a2 = T2 = R1R2C1C2   R3 / (R1 + R3)
a1 = 2DT = (R1R3C1 + R1R3C2 + R2R3C2 - R1R2C2V + R1R2C2)   / (R1 + R3)

Beim Sallen-Key-BP Widerstände und Kondensatoren gleich setzen

Für   R1 = R2 = R3 = R   und   C1 = C = C2   und der Verstärkung   V = (R4 + R5 ) / R4

ergibt sich…

→ T = √(2) RC / 2   und   4DT = (4 - V) RC   bzw.   V = 4 - 2D √2

Damit ergibt sich dann folgende Tabelle:

SK-BP Charakteristik
Welligkeit
Güte Q Dämpfung
D = 1 / 2Q
Verstärkung V
ungedämpft Q = ∞ D = 0 nicht möglich
Q = 10 D = 1 / 20 = 0,05 ≈ 3,859
Q = 3 D = 1 / 6 ≈ 0,1667≈ 3,529
realistisches Maximum Q = 1,5 D = 1 / 3 ≈ 0,3333≈ 3,057
Tschebyscheff 3 dB Q ≈ 1,304 D ≈ 0,3833 ≈ 2,916
Tschebyscheff 2 dB Q ≈ 1,129 D ≈ 0,4430 ≈ 2,747
Tschebyscheff 1,5 dB Q = 1 D = 0,5 ≈ 2,586
Tschebyscheff 1 dB Q ≈ 0,957 D ≈ 0,5227 ≈ 2,522
Butterworth ε = 0 Q = D = √(0,5) ≈ 0,707 2
Bessel Q ≈ 0,5774 D ≈ 0,8660 ≈ 1,550
kritische Dämpfung Q = 0,5 D = 1 ≈ 1,172

Zum Anfang

Beim Sallen-Key BP Verstärkung auf 1 setzen

Für   V = 1   und geschicktes Verstimmung der Widerstände oder Kondensatoren gemäß…

R1 n = R3 n = R = R2 / n   und   C1m = C = C2 / m

erhält man…

→ T = √(2) RC / 2   und   2DT = RC (1 / (n m) + m / n + n m)

bzw.   n2 - √(2) 2D n / m + 1 / m2 + 1 = 0
→ n1,2 = √(2) D / m ± √( 2 D2 / m2 - 1 / m2 - 1)

Für   m2 = 1   muß   D2 > 1   sein, was uninteressant ist.
Wenn ich beispielsweise   m2 = 0,1   oder   m2 = 0,01   setze, bekomme ich folgende Tabelle

SK-Charakteristik
Welligkeit
Güte Q = 0,5 n
für C1 = C2
Dämpfung
D = 1 / 2Q
n für
C1 = 10 C2
n für
C1 = 100 C2
ungedämpft Q = ∞ D = 0 nicht möglich nicht möglich
Q = 10 D = 1 / 20 = 0,05 nicht möglich nicht möglich
Q = 3 D = 1 / 6 ≈ 0,1667 nicht möglich nicht möglich
Q = 1,5 D = 1 / 3 ≈ 0,3333 nicht möglich ≈ 8,064
Tschebyscheff 3 dB Q ≈ 1,304 D ≈ 0,3833 nicht möglich ≈ 9,707
Tschebyscheff 2 dB Q ≈ 1,129 D ≈ 0,4430 nicht möglich ≈ 11,58
Tschebyscheff 1,5 dB Q = 1 D = 0,5 ≈ 3,151 ≈ 13,32
Tschebyscheff 1 dB Q ≈ 0,957 D ≈ 0,5227 ≈ 3,479 ≈ 14,00
Butterworth ε = 0 Q = D = √(0,5) ≈ 0,707 ≈ 5,578 ≈ 19,43
Bessel Q ≈ 0,5774 D ≈ 0,8660 ≈ 7,165 ≈ 24,04
kritische Dämpfung Q = 0,5 D = 1 ≈ 8,452 ≈ 27,89

Zum Anfang

Bandpass 2. Ordnung mit MLF

Bei dem MLF-Bandpass wird die Schaltung, vergleichbar dem SK-Bandpass, auch ein wenig komplexer.
Allgemein ist ein Bandpass ein DT2-System mit folgender Gleichung.

G(s) = b1s / ( a2s2 + a1s + 1 )

Der invertierende Filter lässt sich auch in MLF - multible loop feedback Topologie realisieren.

BP mit Amp

Im Vergleich zum SK-Bandpass sind die Konstanten ähnlich aufgebaut.

b1 = - R2C3   × R1 / (R1 + R3)
a2 = T2 = R2R3C2C3   × R1 / (R1 + R3)
a1 = 2DT = R3 (C2 + C3)   × R1 / (R1 + R3)

Beim MLF-BP Kondensatoren und ein Teil der Widerstände gleich setzen

Durch folgende Wahl lässt sich die Dämpfung ändern, ohne die Eckfrequenz zu ändern.

R1 = R n;   R2 = R (n +1) / n;   R = R3   und   C2 = C = C3

Entsprechend kann man über die "Verstimmung" der Widerstände R1 und R2 die Dämpfung ändern.

→ T = RC   und   D = n / (n + 1) → n = D / (1 - D)

SK-Charakteristik
Welligkeit
Güte Q Dämpfung
D = 1 / 2Q
n
ungedämpft Q = ∞ D = 0 nicht möglich
Q = 10 D = 1 / 20 = 0,05 ≈ 0,053
Q = 3 D = 1 / 6 ≈ 0,1667≈ 0,200
realistisches Maximum Q = 1,5 D = 1 / 3 ≈ 0,3333≈ 0,500
Tschebyscheff 3 dB Q ≈ 1,304 D ≈ 0,3833 ≈ 0,621
Tschebyscheff 2 dB Q ≈ 1,129 D ≈ 0,4430 ≈ 0,795
Tschebyscheff 1,5 dB Q = 1 D = 0,5 ≈ 1,000
Tschebyscheff 1 dB Q ≈ 0,957 D ≈ 0,5227 ≈ 1,095
Butterworth ε = 0 Q = D = √(0,5) ≈ 0,707 ≈ 2,414
Bessel Q ≈ 0,5774 D ≈ 0,8660 ≈ 6,466
kritische Dämpfung Q = 0,5 D = 1 nicht möglich

Zum Anfang

Doppel-T-Bandsperre

Bansperren via Hoch- und Tiefpass betrachte ich hier nicht…

Andere Bezeichnungen für eine Bandsperre sind Kerbfilter oder Notchfilter.
Allgemein ist eine Bandsperre ein PD2T2-System mit folgender Gleichung.

G(s) = (b2 s2 + 1) / ( a2 s2 + a1 s + 1 )

Die passive Bandsperre via Doppel-T-Filter hat noch den Nachteil der konstanten Dämpfung   D = 2.
Dies lässt sich durch Hinzunahme eines OPs verbessern.
Das grundsätzliche Problem der Toleranzen der Kapazitäten bleibt jedoch bestehen,
sodaß diese Schaltung kaum Anwendung findet.

Doppel-T-BS mit Amp

Die Berechnung erfolgt ähnlich wie bei der passiven Doppel-T-Bandsperre.

(E - B) jω C + (G - B) jω C = 2 (B - A) / R   →   jω RC E/2 + jω RC A / (2V) + A = B (1 + jω RC)

(E - D) / R + (G - D) / R = 2 D jω C       →   E/2 + A / (2V) = D (1 + jω RC)

(G - D) / R + (G - B) jω C = 0         →   (1 + jω RC) A/V - D - B jω RC = 0

A = G (R1 + R2) / R1           →   G = A / V;     1 ≤ V < 2

Nun kann man die 1. und 2. Gleichung in die 3. einsetzen und
mit Hilfe der 4. Gleichung G durch A ersetzen und es folgt.

A / E = (1 - ω2 R2 C2 ) V / ( - ω2 R2 C2 + jω RC (4 - 2V) + 1 )

T = RC;   2DT = RC (4 - 2V)

Ein Verstärkung von   V = 2   ergibt theoretisch
(ideale Bauteile vorausgesetzt) keine Dämpfung.

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Doppel-T-Bandsperre abgewandelt

Es gibt noch eine Variante, welche gegenüber der ursprünglichen Doppel-T-Bandsperre
nicht zu einer höheren Verstärkung bei höherer Güte führt.

Doppel-T-BS mit Amp

Die Berechnung erfolgt ähnlich wie bei der vorherige Doppel-T-Bandsperre.
V   ist hier jedoch statt eines Verstärkungsfaktors ein Teilerfaktor.

(E - B) jω C + (A - B) jω C + 2 (G - B) / R = 0   →   jω RC E/2 + jω RC A/2 + VA = B (1 + jω RC)

(E - D) / R + (A - D) / R = (D - G) jω 2C       →   E/2 + A/2 + VA jω RC = D (1 + jω RC)

(A - D) / R + (A - B) jω C = 0         →   D + B jω RC - A (1 + jω RC) = 0

Ist der Spannungsteiler, bestehend aus R1 & R2 niederohmig,
im Vergleich zur übrigen Schaltung, kann ich folgendes annehmen.

A R1 / (R1 + R2) = G           →   A V = G     0 ≤ V ≤ 1

Nun kann man die 1. und 2. Gleichung in die 3. einsetzen und
mit Hilfe der 4. Gleichung G durch A ersetzen und es folgt.

A / E = (1 - ω2 R2C2 ) / ( - ω2 R2C2 + jω 4RC (1 - V) + 1 )

T = RC;   2DT = 4RC (1 - V) → V = 1 - D/2

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Fliege-Filter als Bandsperre

Das grundsätzliche Problem, dass man beim Doppel-T-Filter möglichst identische Kondensatoren benötigt,
lässt sich umgehen, indem man eine RLC-Bandsperre mit einer virtuellen Induktivität aufbaut.
Die Bauteile R1, C2, R3, R4 und R5 sind bewusst
wie bei der Schaltung für die virtuelle Induktivität gewählt worden
um eine Wiedererkennung zu erleichtern.

Im Normalfall regelt ein OP so aus, dass die Eingangsdifferenzspannung Null ist.
Entsprechend ist an 3 Punkten die gleiche Spannung D.

Fliege Bandsperre

Um zur Induktivität zu gelangen, fange ich bei R5 an und hangel mich dann bis zu R1 durch.

(E - D) / R5 = (D - A) / R4

(E - D) R4 / (R3 R5) = (D - A) / R3 = (B - D) jωC2

(E - D) R4 / (jωC2 R1 R3 R5) = (B - D) / R1 = I1

Zwischen den Anschlußpunkten D & E befindet sich also die virtuelle induktive Impedanz Z1.

(E - D) / I1 = Z1 = jωC2 R1 R3 R5 / R4

Entsprechend ergibt sich folgende Schaltung.

Fliege Bandsperre

(E - D) (1 / R6 + jωC1 + R4 / (jωC2 R1 R3 R5) ) = D / R7

Wenn   R4 = R5   und   R6 = R7   gesetzt wird, ergibt sich folgendes.

D = E (-ω2 R1 R3 C1 C2 + jω R1 R3 C2 / R6 + 1)   /   ( -ω2 R1 R3 C1 C2 + 2 jω R1 R3 C2 / R6 + 1 )

Die Ausgangsspannung A im Verhältnis zur Spannung D ergibt sich aus erster Gleichung folgendes.

A = 2D - E

Beides zusammen gesetzt ergibt.

A / E = (-ω2 R1 R3 C1 C2 + 1)   /   ( -ω2 R1 R3 C1 C2 + 2 jω R1 R3 C2 / R6 + 1 )

Wobei   T2 = R1 R3 C1 C2   und
2DT = 2 R1 R3 C2 / R6 → D = 1 / R6 × √(R1 R2 C2 / C1 )

Zum Vergleich, eine Bandsperre ist ein PD2T2-System mit folgender Gleichung.

G(s) = (b2 s2 + 1) / ( a2 s2 + a1 s + 1 )

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Quellen

biancahoegel.de   Filter (Elektrotechnik)
changpuak.ch   Fliege Notch Filter
circuitlab.com   Fliege Filter with a virtual ground - Narrow band filter PUBLIC
crbond.com   Filter Algorithms, Parameters and Software for Electronic Circuits
dr-seifert-online.de   NichtinvSallenandKeyTiefHochpass.pdf
hs-karlsruhe.de   PT2-Glied
electronicdeveloper.de   Doppel-T-Filter, Kerbfilter, Notchfilter - Online calculator
electronics-tutorials.ws   Aktiver Tiefpassfilter
elektroniktutor.de   Aktive elektrische Filterschaltungen
fritz.dellsperger.net   Intermodulation Calculator, Zweitore, Filter-Design, etc.
gatech.edu   Discrete_01.pdf - SECOND-ORDER ACTIVE FILTERS
  RCL low-pass, sallen-key, MLF, Tow-Thomas, high-pass
gunthard-kraus.de   Leichter Einstieg in die SPICE-Schaltungssimulation mit LTspice IV oder VII
hinkel-elektronik.de   Elektrotechnik Formelsammlung.pdf
ijdata.com   verkaufen LspCAD
matheplanet.com  
maximintegrated.com   APPLICATION NOTE 1762
  A Beginner's Guide to Filter Topologies
netzmafia.de   Texas_SingleSupply.pdf oder SLOA058.pdf
  summing, difference, simulated inductor, Instrumentation Amplifiers,
  Filter (LP, HP, AP),
  (Sallen-Key, Multiple Feedback, Twin T, Fliege, Akerberg-Mossberg, BiQuad, State Variable)
netzmafia.de   Mikrocontroller, Hardware, PC und Linux
njit.edu   TUTORIAL: Introduction to Filter Design
  Butterworth, Chebyshev, Sallen-Key, Tow-Thomas
numericana.com   Linear Filters - Network Synthesis and Design
kecktaylor.com   Free Analog Filter Program
passific.fr   502af904572be-Polycop Electro-Filtrage - 2012 - Compte.pdf
  Filtrage Analogique - Polytech’Montpellier
rfwireless-world.com   Difference between Butterworth filter vs Chebyshev vs Bessel vs Elliptic filter
sciencedirect.com   Sallen Key
softwaredidaktik.de   Programm Aktiv Filter (nicht gekauft)
studyflix.de   Das PT2-Glied
ti.com   Filter design tool
ti.com   slyt235.pdf - High-speed notch filters
  Twin-T notch filter, Fliege notch filter
ti.com   sloa093.pdf - Filter Design in Thirty Seconds
  LP, HP, BP, BS

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