elektrische Filter aus aktiven Bauteilen


© Oktober 2021, letzte Änderung am 22.10.21

Übersicht


Auf umliegenden Seiten habe ich…
Spannungsteiler und passive Filter
  TP, HP, BP, BS, AP, Doppel-T, Wien-Brücke, etc.
allgemeine OP-Schaltungen   Addierer, Subtrahierer, Instrumenten-Verstärker,
  Integrator, Differenzierer, NIC, Gyrator, Oszillator, etc.
aktive Filter nach Charakter und Aufbau   Güte, Dämpfung,
  Tschebyscheff, Cauer, Butterworth, Legendre, Bessel, Thomson,
  FIR, Nyquist, Raised-Cosine, RRC, Gauß,
  IIR, Sallen-Key, MLF, Linkwitz-Riley, etc.
aktive Filter   TP, HP, BP (Sallen-Key oder MLF),
  BS (Doppel-T, Fliege), etc.

Equalizer

Ob nun ein parametrischer oder graphischer Equalizer,
das Schaltungsprinzip ist gleich.
Je Filter kann ich eine Anhebung oder Absenkung
eines bestimmten Frequenzbereiches bewirken.

graphischer Equalizer

Bei einem graphischen Equalizer habe ich viele Filter mit gleich geringer Güte.
Bei 10 Frequenzbänder im Oktav-Abstand wären das z.B.
31,25   62,5   125   250   500   1 k   2 k   4 k   8 k   16 kHz
Die entsprechende Regel zur Bestimmung der Frequenzen lautet   fn+1 = 2 x fn

Bei 15 Frequenzbändern ist es beispielsweise wie folgt:
25    63    160    400    1k    2,5k    6,3k    16k
    40    100    250    630    1,6k    4k    10k
Die entsprechende Regel ist vergleichbar aufgebaut   fn+1 = √(2) x fn

Bei 31 Frequenzbändern ist es meist wie folgt:
20    40    80    160    315    630    1,25k    2,5k     5k     10k     20k
  25    50    100    200    400    800    1,6k    3,15k   6,3k   12,5k
   31,5    63    125    250    500    1k       2k     4k       8k      16k
Die entsprechende Regel lautet wie folgt   fn+1 = ∛(2) x fn
Ein konkretes Produkt dieser Art wäre z.B. der
Behringer FBQ3102HD Ultragraph Pro   von thomann.de

Anbei eine mögliche Prinzip-Schaltung.

EQ mit Amp

Sie ist zusammengesetzt aus einer Pegel Korrektur-Schaltungen
zur Dämpfung oder Verstärkung eines Signals
und diverser gedämpfter Schwingkreise

parametrischer Equalizer

Bei einem parametrischen Equalizer habe ich
statt der graphischen Darstellung des Frequenzganges durch viele Schieberegler,
nur wenige Filter (z.B. 4 stk).
Dafür kann ich je Filter unabhängig voneinander
die Eckfrequenz und Güte verändern.

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BiQuad-Filter

Wenn man sich die verschiedenen Filter 2. Ordnung anguckt,
z.B. HP - Hochpass, TP - Tiefpass, BP - Bandpass, BS - Bandsperre, AP - Allpass
fällt auf, das im Nenner immer eine Differentialgleichung 2. Ordnung ist → 2 Pole.
Die Lösung der quadratischen Gleichung erfolgt über die pq-Formel.

Die Unterschiede der Filterarten ergeben sich durch die Koeffizienten des Zählers.
→ Nullstellen
Baue ich den Zähler wie den Nenner auf, habe ich ein BiQuad-Filter,
mit dem ich alle zuvor beschriebenen Filterarten realisieren kann.

A / E =  (b'0 + b'1s + b'2s2)   /   (a'0 + a'1s + a'2s2)

Wobei   s = jω   und   s2 = - ω2   ist.

Meistens wird eine normalisierte Darstellung bevorzugt.
Sie erreicht man, indem man Zähler und Nenner durch   a'0   teilt.

A / E = k (b0 + b1s + b2s2)   /   (1 + a1s + a2s2)

Nur die Pole des Nenners entscheiden über
Stabilität oder Dämpfung D und Eckfrequenz ω0.

T2   = a2 = 1 / ω02;
2DT = a1

Je nach Wahl der Zähler-Koeeffizienten, habe ich ein anderes Filterverhalten.

b0 b1 b2
TP2 - Tiefpass b0 0 0
BP - Bandpass 0 b1 0
BS - Bandsperre 1 0 b2 = a2
AP - Allpass 1 0 b2 = - a2
HP2 - Hochpass 0 0 b2

Im Gegensatz zur Seite aktive Filter, wo die Schaltungen bereits erdacht waren
und ich mich fragte;   Wie komme ich zur bekannten Gleichung?
gehe ich hier den umgekehrten Weg.
Da Schaltungstechnisch Integrierer   1/s   leicht zu realisieren sind,
teile ich Zähler und Nenner durch   s2

Entsprechend müssen dann   E b0   und   A a0   an den Anfang von zwei Integrierern.
Da die Integrierer invertierend sind,
muss nach den ersten Integrierer A1   auch   E b1   und   A a1   invertiert werden.
Dafür ist ein weiterer Operationsverstärker   A4   nötig (siehe Spannung F).
Nach den 2. Integrierer A2   folgt noch eine Summation von   B, E b2   und   A a2   via A3

Daraus resultiert folgende mögliche Schaltung.
Der Aufwand mag dann sinnvoll sein, wenn jeder Parameter unabhängig einstellbar sein soll.

Universial-Filter-Schaltung

Die Berechnung erfolgt indem ich an jeden Kotenpunkt
des negativen Eingangs des jeweiligen OPs eine Gleichung aufstelle.

D jωC + E b0 / R + A a0 / R = 0     →   D = (- E b0 - A a0) / (jωRC)

F / R + A a1 / R + E b1 / R = 0   →   F = - A a1 - E b1

Dies eingesetzt in folgende Gleichung (2. Integrierer).

B jωC + D / R + F / R = 0   →   B = ( E(b0 + jωRC b1 ) + A(a0 + jωRC a1) )   /   ( - ω2R2C2 )

Dies wiederum eingesetzt in folgende Summations-Gleichung ergibt die Lösung.

E b2 / R + B / R + A a2 / R = 0

A / E = - (b0 + jωRC b1 - ω2R2C2 b2 )   /   (a0 + jωRC a1 - ω2R2C2 a2 )

a0 = 1
T2    = R2C2 a2
2DT = RC a1

Als analog-Schaltung hat das BiQuad-Filter aufgrund seines Aufwandes kaum Bedeutung erlangt.
Da dieses Filter 2. Ordnung noch recht leicht zu verstehen ist (Frage: stabil oder nicht?),
ist das BiQuad-Filter recht gebräuchlich bei der digitalen Signal-Verarbeitung.

Allgemein (analog oder digital) werden daher Filter höherer Ordnung
aus der Hintereinanderschaltung von Filtern 1. und 2. Ordnung gebaut.

Obiges BiQuad kann man auch abstrakt wie folgt darstellen (normalisiert: a0 = 1) .

Funktionsdiagramm Unversal-Filter

Dies sieht dann schon recht ähnlich eines zeitdiskreten digitalen BiQuad-Filters aus.

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Abgespecktes Biquad-Filter

Ursprung BiQuad-Filterschaltung:

Universial-Filter-Schaltung

Wenn man die vorher dargestellte BiQuad-Schaltung genauer anguckt,
fällt auf, daß für TP, HP und BP nur ein Zähler-Koeffizent benötigt wird.
Ich brauch also nicht   R/b1   über A4 invertieren → Rv
→ Bei b0 oder b2 ist der Ausgang dann negiert,   bei b1 nicht.

Die negative Rückkopplung der Spannung A   via   R/a1 (A1 übersprungen) zum
Integrator-Eingang A2 kann auch anders realisiert werden.
Z.B. kann die negative Spannung (- D)   (A2 übersprungen) an den negativen Eingang
des Summierers A3 angeschlossen werden → Rl.
Um sich die Negation zu sparen, kann der positive Eingang von A3 via   Rl   genutzt werden.
Es ist jedoch noch ein zusätzlicher Widerstand   Ru   nach Gnd nötig.
Statt nach Gnd, kann   Ru   auch mit der Spannung E   verbunden werden.
Dann wird der Widerstand   R/b2   überflüssig.

Zum besseren Verständnis kann ich die Summation links statt rechts von den Integrierern zeichnen.
Die Numerierung und Bezeichnungen der Spannungen ist analog zur vorherigen Schaltung.
Die Index Schreibweise habe ich nur der vereinfachten Darstellung wegen verwendet.
z.B.   Ru = R / u
Die Spannung G habe ich vergessen einzuzeichnen und
ergibt sich durch den Spannungsteiler Ru, Rl an den Eingängen von A3.
(Vernachlässigbare Differenzspannung im normalen Betriebszustand)

Schaltung BiQuad-Filter

Zur Kontrolle erstelle ich erneut die Gleichungen, zuächst an A3.

(E - G)u + (D - G)l = 0    →   G = (Eu + Dl) / (u + l)
(A - G)k + (B - G)m = 0   →   G = (Ak + Bm) / (k + m)

→ (Eu + Dl)(k + m) - (Ak + Bm)(u + l) = 0

Die Integrierer-Gleichungen lauten wie folgt

D = - (Ev + A) / (jωRC)   =   - jωRC (Ev + A) / ( - ω2R2C2 )

B = - (Ew + D) / (jωRC)  =   (Ev + A - jωRC Ew ) / ( - ω2R2C2 )

Erste und zweite Gleichung gleichgesetzt und Integrierer-Gleichungen eingesetzt
und nach   A / E   aufgelöst ergibt folgendes.

A / E = - [ - (u + l) vm  + jωRC ( (u + l) wm - (k+m) vl )  - ω2R2C2 (k + m) u ]
          /   [   (u + l) m    + jωRC (k + m) l       - ω2R2C2 (u + l) k ]

Wenn man nun normalisiert und   m = 1   setzt
ergibt sich Eckfrequenz und Dämpfung wie folgt

T2 = R2C2 k
2DT = (k + 1) l / (u + l)
Zähler = - v   + jωRC (w - vl (k + 1) / (u + l) )   - ω2R2C2 u (k + 1) / (u + l) )

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State variable-Filter

Ursprung abgespeckter BiQuad:

Schaltung BiQuad-Filter

Wenn ich nun keinen Filter benötige,
wo der Ausgang alle Filter-Typen annehmen kann.
Dann kann ich weiter abspecken. Z.B. wie folgt

Zusätzlich zu   m = 1   entferne ich   Ru   und   Rv.
Womit   A / E   zum Hochpass wird.

A / E = - [ - ω2R2C2 u (k + 1) / (u + l) ]
          /   [ 1  + jωRC l (k + 1) / (u + l)  - ω2R2C2 k ]

Berechne ich nun   D / E   komme ich auf einen Bandpass.

D / E = ( - jωRC u (k + 1) / (u + l) )
          /   [ 1  + jωRC l (k + 1) / (u + l)  - ω2R2C2 k ]

Und bei   B / E   komme ich auf einen Tiefpass.

B / E = - u (k + 1)   /   [ 1  + jωRC l (k + 1) / (u + l)  - ω2R2C2 k ]

Also drei verschiedene Filterarten stehen gleichzeitig zur Verfügung.
Publiziert wurde das bereits 1967 von den drei Autoren
W.J. Kerwin,   L.P. Huelsman   und   R.W. Newcomb.
Entsprechend ist der Name   Kerwin–Huelsman–Newcomb - KHN-Filter

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Tow Thomas-Filter

Ursprung BiQuad:

Universial-Filter-Schaltung

Die Anfangs genannte Schaltung kann man auch auf andere Art und Weise abspecken.
Entferne ich  R/b1  und  R/b2,  und arbeite lediglich mit  R/b0,
dann habe ich einen Tiefpass-Filter am Ausgang A.
Setze ich nun  R/a2 = R  wird   B = - A.
Die Inverterschaltung um A4 kann ich mir also sparen und  R/a1 
direkt parallel zu  C  an A1 oder A2 anschließen.

Wenn ich nun  R/a1  parallel zum Kondensator  C  an A1 anschließe,
erhalte ich den Tow Tomas-Filter.

Tow-Thomas-Filter

Hinter den ersten Integrator erhalte ich einen Bandpass.

D / E = -jωRC b / ( a0 a2 + jωRC a1 - ω2R2C2 )

Hinter den zweiten Integrator erhalten ich einen Tiefpass

A / E = - b a2 / ( a0 a2 + jωRC a1 - ω2R2C2 )

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Oszillator

Ursprung BiQuad:

Universial-Filter-Schaltung

Wie beim Tow-Thomas-Filter beschrieben, gibt es noch weitere Möglichkeiten.

R/b0  und  R/b1  schmeiße ich raus oder nutze ihn sehr hochohmig als DC-Offset.
R/b2,  benötige ich auch nicht mehr.
R/a2 = R  ist nötig, damit   B = - A   wird.

R/a1 → Rd   schalte ich wieder parallel zum Kondensator  C .
Allerdings im Gegensatz zum Tow-Thomas-Filter nicht an A1, sondern an A2.
Das bedeutet, die linkes Seite des Widerstandes ist am negativen Eingang von A2
und die rechte Seite am Ausgang von A2 (Spannung B)
So lange  Rd  Spannung B erhält, wirkt der Widerstand dämpfend.
Schließe ich das rechte Ende an die Spannung A, wirkt der Widerstand entfachend.
Die Schreibweise der Widerstände ist wieder vereinfacht   Ra = R / a

Wird das Poti entsprechend der Ausgangsamplitude gesteuert,
habe ich einen sehr sauber arbeitenden Sinusgenerator.
Zur Amplitudensteuerung kann ich z.B.   D2 + B2   nehmen.
Ob nun ein digitales Poti verwendet wird oder
zwei aus giftigen CdS bestehende LDR's das Poti bilden, ist noch offen.

Differenzialgleichungsoszillator

Aus den folgenden drei Gleichungen ergibt sich die Lösung.

A = - B
D jωC + A a / R = 0
B jωC + B d (1 - 2x) / R + D b / R = 0

Für   B   ergibt sich im Nenner

a b + jωRC d (1 - 2x) - ω2R2C2

Wenn   k1; k2   kleine Offsett-Fehler der Operationsverstärker sind,
und   B = sin(t) + k2   ist,
dann ergibt sich als Integral   D = - cos(t) + k2 t + k1,
was wiederum erneut Integriert  - sin(t) + k2 t2/2 + k1 t
und negiert   B = sin(t) - k2 t2/2 - k1 t   ergibt.
→ ein kleiner DC-Offett wird also nicht zu einem Problem.

Gemäß obiger Gleichung ist   2π f = ω0 = 1 / RC = 1 / (C √(Ra Rb) )
konkretes Beispiel:   4,7 kΩ   &   33 nF   → 1026 Hz
Da die Kapazität bis zu 10% schwanken kann,
sollte 4,23 kΩ < Ra = Rb < 5,17 kΩ einstellbar sein.
Eventuell macht es sogar Sinn, die Schaltung niederohmiger zu gestallten,
da dann das Widerstandsrauschen kleiner ist.
Hier 4k7 → 8,8 nV / √Hz
Siehe Widerstandsrauschen.

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Quellen

dl4cs.de   Equalizer-Schaltung für neun Bereiche mit LC-Kreisen
mikrocontroller.net   Frage zu 3fach Equalizer Schaltung aus Mischpult
netzmafia.de   Texas_SingleSupply.pdf oder SLOA058.pdf
  summing, difference, simulated inductor, Instrumentation Amplifiers,
  Filter (LP, HP, AP),
  (Sallen-Key, Multiple Feedback, Twin T, Fliege, Akerberg-Mossberg, BiQuad, State Variable)
sound-au.com   Wien Bridge Based Parametric Equaliser
techniker-forum.de   Equalizer-Schaltung
electronics-tutorials.ws   State Variable Filter
ieee.org   State-Variable Synthesis for Insensitive Integrated Circuit Transfer Functions
linear.com   AN132f.pdf - Fidelity Testing for AD Converters via Wien-Brücken-Osz.
linear.com   3_357.pdf - Fractional-step Tow-Thomas biquad filters

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