Auf umliegenden Seiten habe ich…
Spannungsteiler und passive Filter
TP, HP, BP, BS, AP, Doppel-T, Wien-Brücke, etc.
allgemeine OP-Schaltungen
Addierer, Subtrahierer, Instrumenten-Verstärker,
Integrator, Differenzierer, NIC, Gyrator, Oszillator, etc.
aktive Filter nach Charakter und Aufbau
Güte, Dämpfung,
Tschebyscheff, Cauer, Butterworth, Legendre, Bessel, Thomson,
FIR, Nyquist, Raised-Cosine, RRC, Gauß,
IIR, Sallen-Key, MLF, Linkwitz-Riley, etc.
spezielle Filter
Equalizer, BiQuad, State Variable, etc.
V = - (R2 || 1/jωC) / R1 = - R2 / (R1 (1 + jωR2C) )
Mit folgenden Gleichungen ergibt sich die allgemeine Form.
ω0 = 1/(R2C) = 1 / T; R2/R1 = k und jω + δ = s
V = - k / (1 + jω/ω0) = - k / (1 + Ts)
Alternativ, kann ein
passiver RC-Tiefpass
aufgebaut werden,
welcher dann von einen hochohmigen positiven Verstärker gepuffert wird.
Zum Anfang
V = - R2 / (R1 + 1/jωC) = - jωR2C / (1 + jωR1C)
Mit folgenden Gleichungen ergibt sich wider die allgemeine Form.
ω0 = 1/(R1C) und - R2/R1 = k
V = k jω/ω0 / (1 + jω/ω0) = k Ts / (1 + Ts)
Siehe auch passiver RC-Hochpass oder passiver RL-Hochpass.
Zum Anfang
Die allgemeine Übertragungsfunktion eines TP2-Systems lautet wie folgt.
G(s) = b0 / ( a2s2 + a1s + 1 )
Wenn die Güte nicht so hoch sein braucht
(ca. Q < 3 - hängt z.B. von Eckfrequenz & OP ab),
kann man den Tiefpass als Sallen-Key-Filter realisieren, wie hier dargestellt.
Über die Knotenregel erhalte ich…
(E - U) / R1 + (A - U) / Z1 - U / (R2 + Z2) = 0
→ E / R1 = U / R1 - A / Z1 + U / Z1 + U / (R2 + Z2)
Da die Spannungdifferenz der Eingänge des OPs = Null ist, folgt daraus…
U Z2 / (R2 + Z2) = A R3 / (R3 + R4) mit V = (R3 + R4) / R3
→ U = A (jωR2C2 + 1) / V
Dies oben eingesetz mit Z1 = 1 / jωC1 bzw. Z2 = 1 / jωC2
ergibt eine etwas sperrige Formel,
welche ich wieder eingescannt habe.
b0 = V; V = (R3 + R4 ) / R3
a2 = T2 = R1R2C1C2
a1 = 2DT = R1C1 - R1C1V + R1C2 + R2C2
Stabil für R1C1 + R1C2 + R2C2 > R1C1V
Aufgrund der gröberen Rasterung und Auswahl, wähle ich zunächst die Kondensatoren (im Bereich 1 nF… 680 nF).
Bei Werte darunter sollte die OP-Eingangs-Kapazität und evtl. die Leiterbahnkapazität mit berücksichtigt werden.
Werte darüber werden nicht nur unhandlich groß,
sondern deren Impedanz ist dann in der Größenordnung des Ausgangswiderstandes des OPs.
Danach berechne ich bei vorgegebener Eckfrequenz die Widerstände aus.
Sind diese außerhalb von z.B. 390 Ω…50 KΩ, fange ich wieder von vorne an.
Bei zu niedrigen Werten ist wieder mit einer Verfälschung durch den OP Ausgangswiderstand zu rechnen.
Bei zu hochohmigen Aufbau, ist Rauschen und der OP Eingangswiderstand ein Problem.
Abgesehen davon, ist der OP kein ideales Bauteil…
Das kann dazu führen, dass sowohl die Eckfrequenz alsauch die Dämpfung nicht erreicht werden.
Desweiteren, kann diese Schaltung schwingen.
Also oberhalb der "Resonanzspitze" sollte im Amplitudendiagramm noch eine Reserve
von ca. 40 dB (1% Fehler am OP Ausgang) sein,
berechenbar oder zeichenbar durch die Diagonale gebildet aus OP-Bandbreite und open-loop Verstärkung.
Um das zu überprüfen, ist es sinnvoll in einer Schaltungssimulation
(mit adäquaten OP-Modell) ein wenig mit den R & C Werten zu spielen.
Siehe z.B.
elektronikentwickler-aachen.de
Berechnung der Kapazität von Leiterbahnen
de.wikipedia.org
Ngspice
okawa-denshi.jp
Sallen-Key Low-pass Filter Design Tool
Ein Ansatz wäre, alle Widerstände und Kondensatoren gleich zusetzen.
→ T = RC und 2DT = RC (3 - V) → V = 3 - 2D
Der Charakter des Filters ist dann offensichtlich nur vom Verstärkungsfaktor abhängig…
SK-TP Charakteristik Welligkeit | Güte Q | Dämpfung D = 1 / 2Q | Verstärkung V |
---|---|---|---|
ungedämpft | Q = ∞ | D = 0 | 3 |
realistisches Maximum | Q < 3 | D > 1 / 6 ≈ 0,1667 | 8/3 ≈ 2,667 |
Tschebyscheff 3 dB | Q ≈ 1,304 | D ≈ 0,3833 | ≈ 2,233 |
Tschebyscheff 2 dB | Q ≈ 1,129 | D ≈ 0,4430 | ≈ 2,114 |
Tschebyscheff 1,5 dB | Q = 1 | D = 0,5 | 2 |
Tschebyscheff 1 dB | Q ≈ 0,957 | D ≈ 0,5227 | ≈ 1,955 |
Butterworth ε = 0 | Q = D = √(0,5) ≈ 0,707 | ≈ 1,586 | |
Bessel | Q ≈ 0,5774 | D ≈ 0,8660 | ≈ 1,268 |
kritische Dämpfung | Q = 0,5 | D = 1 | 1 |
Ein weiterer Ansatz wäre, den Spannungsteiler, bestehend aus R3 und R4, zu entfernen.
→ V = 1 und T2 = R1R2C1C2 und 2DT = (R1 + R2) C2
Zur weiteren Vereinfachung stelle ich mir vor, alle Widerstände und Kondensatoren sind zunächst gleich.
Nun kann ich durch "verstimmen" der Widerstände oder Kondensatoren meine Dämpfung beeinflussen
ohne das die Eckfrequenz driftet.
Also, kann ich erst einmal folgendes ansetzen.
SR1 n = R = R2 / n bzw. C1 m = C = C2 / m
Damit ergibt sich… T = RC und D = m (1 + n2 ) / 2n
bzw. nach n aufgelöst ergibt das
n2 - 2Dn / m + 1 = 0 → n1,2 = D / m ± √(D2 / m2 - 1)
Da man weis, das sich die Dämpfung sinnvollerweise nur in einen bestimmten Bereich bewegt z.B. 0 < D < 1
…und man ein reales n möchte, sollte D > m sein.
Das lässt sich nur erreichen, wenn folgendes gegeben ist. R1 ≠ R2 bzw. n ≠ 1
Für beispielsweise m2 = 0,1 also C1 = 10 C2 und R1 n = R = R2 / n bekomme ich folgende Tabelle.
SK-TP Charakteristik Welligkeit | Güte Q | Dämpfung D = 1 / 2Q |
n für C1 = 10 C2 | n für C1 = 100 C2 |
---|---|---|---|---|
ungedämpft | Q = ∞ | D = 0 | nicht möglich | nicht möglich |
Q = 10 | D = 1 / 20 = 0,05 | nicht möglich | nicht möglich | |
Q = 3 | D = 1 / 6 ≈ 0,1667 | nicht möglich | 3 | |
realistisches Maximum | Q = 1,5 | D = 1 / 3 ≈ 0,3333 | ≈ 1,387 | ≈ 6,513 |
Tschebyscheff 3 dB | Q ≈ 1,304 | D ≈ 0,3833 | ≈ 1,897 | ≈ 7,532 |
Tschebyscheff 2 dB | Q ≈ 1,129 | D ≈ 0,4430 | ≈ 2,382 | ≈ 8,746 |
Tschebyscheff 1,5 dB | Q = 1 | D = 0,5 | ≈ 2,806 | ≈ 9,899 |
Tschebyscheff 1 dB | Q ≈ 0,957 | D ≈ 0,5227 | ≈ 2,969 | ≈ 10,36 |
Butterworth ε = 0 | Q = D = √(0,5) ≈ 0,707 | ≈ 4,236 | ≈ 14,07 | |
Bessel | Q ≈ 0,5774 | D ≈ 0,8660 | ≈ 5,288 | ≈ 17,26 |
kritische Dämpfung | Q = 0,5 | D = 1 | ≈ 6,162 | ≈ 19,95 |
Da D > m erforderlich ist,
komme ich in diesem Beispiel für C1 = 10 C2 nur bis etwa D > 0,3162.
Sollte das nicht reichen, kann ich immer noch der Verhältnis der Kondensatoren vergrößern
Siehe letzte Spalte C1 = 100 C2
Zum Anfang
Die allgemeine Übertragungsfunktion eines TP2-Systems lautet wie folgt.
G(s) = b0 / ( a2s2 + a1s + 1 )
Benötige ich ein Filter höherer Güte oder
komme ich näher an das Bandbreiten Verstärkungs Produkt des OPs heran,
ist es besser etwas mehr Aufwand (ein Widerstand), als beim Sallen-Key-Filter, zu betreiben.
Der multible loop feedback - MLF-Filter ist damit fast immer stabil,
vorausgesetzt der OP kann hinreichend, als Ideal betrachtet werden…
Da die Eingangsdifferenzspannung des OPs = 0 ist und kein Strom in den Eingang fließt, folgt.
U / R3 = - A / Z2
Und mit der Knotenregel erhalte ich…
(E - U) / R1 = (U - A) / R2 + U / R3 + U / Z1
b0 = V < 0; Die DC-Verstärkung ergibt sich zu V = - R2 / R1
a2 = T2 = R2R3C1C2 In T ist kein R1 enthalten…
a1 = 2DT = - V R3C2 + R3C2 + R2C2
Der Term 2DT ist immer positiv bzw. stabil.
Zum Anfang
Ein Ansatz wäre, alle Kondensatoren und die Widerstände R2 = R = R3 gleich zusetzen.
→ T = RC und 2DT = (2 - V) RC → V = 2 - 2D
Für eine Dämpfung im Bereich 0 < D < 1 kommt da allerdings nur eine nicht realisierbare positive Verstärkung heraus…
Wenn ich allerdings erlaube die Kondensatoren zu "verstimmen", habe ich eine Chance auf eine Lösung.
Aus C1 m = C = C2 / m und R2 = R = R3 ergibt sich folgendes V = 2 - 2D / m
Für eine negative Verstärkungen muss D > m sein.
Wenn ich beispielsweise m2 = 0,1 setze, bekomme ich folgende Tabelle
MLF-TP Charakteristik Welligkeit | Güte Q | Dämpfung D = 1 / 2Q |
Verstärkung V für C1 = 10 C2 | Verstärkung V für C1 = 100 C2 |
---|---|---|---|---|
ungedämpft | Q = ∞ | D = 0 | +2 nicht möglich | +2 nicht möglich |
Q = 3 | D = 1 / 6 ≈ 0,1667 | ≈0,9 nicht möglich | ≈ -1,333 | |
realistisches Maximum | Q = 1,5 | D = 1 / 3 ≈ 0,3333 | ≈ -0,108 | ≈ -4,667 |
Tschebyscheff 3 dB | Q ≈ 1,304 | D ≈ 0,3833 | ≈ -0,424 | ≈ -5,665 |
Tschebyscheff 2 dB | Q ≈ 1,129 | D ≈ 0,4430 | ≈ -0,802 | ≈ -6,860 |
Tschebyscheff 1,5 dB | Q = 1 | D = 0,5 | ≈ -1,162 | -8 |
Tschebyscheff 1 dB | Q ≈ 0,957 | D ≈ 0,5227 | ≈ -1,306 | ≈ -8,454 |
Butterworth ε = 0 | Q = D = √(0,5) ≈ 0,707 | ≈ -2,472 | ≈ -12,14 | |
Bessel | Q ≈ 0,5774 | D ≈ 0,8660 | ≈ -3,477 | ≈ -15,32 |
kritische Dämpfung | Q = 0,5 | D = 1 | ≈ -4,325 | ≈ -18,00 |
Eine weitere Spreizung der Kondensatorenwerte macht wahrscheinlich keinen Sinn…
Ein weiterer Ansatz wäre, die Gleichsetzung der Widerstände R1 = R = R2.
Dadurch wird die DC-Verstärkung V = - 1 = - R2 / R1 .
Das Verhältnis zum verbleibenden Widerstand bezeichne ich dann mit R = R3 / n2
bzw. das Verhältnis der Kondensatoren definiere ich zu C1 m = C = C2 / m
→ T = RCn und 2DT = (2n2 + 1) RCm
→ D = (2n2 + 1) m / 2n oder n2 - Dn / m + 1 / 2 = 0 → n1,2 = D / 2m ± √(D2 / 4m2 - 1 / 2 )
Für reale n sollte D2 > 2m2 sein.
Mit den Beispiel m2 = 0,1 also C1 = 10 C2 und R = R3 / n2 folgt folgende Tabelle
MLF-TP Charakteristik Welligkeit | Güte Q | Dämpfung D = 1 / 2Q |
n für C1 = 10 C2 | n für C1 = 100 C2 |
---|---|---|---|---|
Q = 10 | D = 0,05 | nicht machbar | nicht machbar | |
Q = 3 | D ≈ 0,1667 | nicht machbar | ≈ 1,274 | |
Tschebyscheff 3 dB | Q ≈ 1,304 | D ≈ 0,3833 | nicht machbar | ≈ 3,697 |
Tschebyscheff 2 dB | Q ≈ 1,129 | D ≈ 0,4430 | nicht machbar | ≈ 4,314 |
Tschebyscheff 1,5 dB | Q = 1 | D = 0,5 | ≈ 1,144 | ≈ 4,898 |
Tschebyscheff 1 dB | Q ≈ 0,957 | D ≈ 0,5227 | ≈ 1,254 | ≈ 5,130 |
Butterworth ε = 0 | Q = D = √(0,5) ≈ 0,707 | ≈ 1,984 | 7 | |
Bessel | Q ≈ 0,5774 | D ≈ 0,8660 | ≈ 2,542 | ≈ 8,602 |
kritische Dämpfung | Q = 0,5 | D = 1 | ≈ 2,995 | ≈ 9,950 |
Zum Anfang
Durch vertauschen der Kondensatoren mit den Widerständen erhalte ich aus den PT2 ein D2T2-System.
G(s) = b2s2 / ( a2s2 + a1s + 1 )
Die entsprechende Schaltung lässt sich beispielsweise als Sallen-Key Hochpass realisieren.
Im Vergleich zum Sallen-Key-Tiefpass ist die Konstante 2DT leicht anders.
b2 = a2V; V = (R3 + R4) / R3
a2 = T2 = R1R2C1C2
a1 = 2DT = R1C1 + R2C2 - R2C2V + R1C2
Für R1 = R = R2 und C1 = C = C2
bleibt nur noch veränderlich die Verstärkung V = (R3 + R4 ) / R3
→ T = RC und V = 3 - 2D
Weitere Schritte, wie beim Tiefpass 2. Ordnung nach Sallen-Key.
Für eine AC-Verstärkung bei hohen Frequenzen V = 1 und
Verstimmung der Widerstände oder Kondensatoren gemäß…
R1n = R = R2 / n und C1m = C = C2 / m
ergibt sich → T = RC und D = (1 + m2) / 2nm
bzw. n = (1 + m2) / 2Dm = (1 + m2) Q / m
n ist also immer positiv, egal wie D oder m ist.
Wenn ich beispielsweise m2 = 0,1 setze, bekomme ich folgende Tabelle.
SK-HP Charakteristik Welligkeit | Güte Q = 0,5 n für C1 = C2 | Dämpfung D = 1 / 2Q |
n für C1 = 10 C2 |
---|---|---|---|
ungedämpft | Q = ∞ | D = 0 | nicht möglich |
Q = 10 | D = 1 / 20 = 0,05 | ≈ 34,79 | |
Q = 3 | D = 1 / 6 ≈ 0,1667 | ≈ 10,44 | |
realistisches Maximum | Q = 1,5 | D = 1 / 3 ≈ 0,3333 | ≈ 5,218 |
Tschebyscheff 3 dB | Q ≈ 1,304 | D ≈ 0,3833 | ≈ 4,538 |
Tschebyscheff 2 dB | Q ≈ 1,129 | D ≈ 0,4430 | ≈ 3,926 |
Tschebyscheff 1,5 dB | Q = 1 | D = 0,5 | ≈ 3,479 |
Tschebyscheff 1 dB | Q ≈ 0,957 | D ≈ 0,5227 | ≈ 3,327 |
Butterworth ε = 0 | Q = D = √(0,5) ≈ 0,707 | ≈ 2,460 | |
Bessel | Q ≈ 0,5774 | D ≈ 0,8660 | ≈ 2,008 |
kritische Dämpfung | Q = 0,5 | D = 1 | ≈ 1,739 |
Zum Anfang
Durch vertauschen der Kondensatoren mit den Widerständen erhalte ich aus den PT2 ein D2T2-System.
G(s) = b2s2 / ( a2s2 + a1s + 1 )
Den entsprechenden invertierenden Filter lässt sich auch in MLF - multible loop feedback Topologie realisieren.
Im Vergleich zum MLF-Tiefpass ist die Konstante 2DT ähnlich aufgebaut.
b2 = a2V
V = - C1 / C2
a2 = T2 = R1R2C2C3
a1 = 2DT = R1 (C1 + C2 + C3)
= R1 (C2 - VC2 + C3)
Für R1 = R = R2 und C2 = C = C3 und V = - C1 / C
→ T = RC und V = 2 - 2D
Wie beim MLF-Tiefpass 2. Ordnung zu sehen, war keine negative Verstärkung für 0 < D < 1 möglich.
Weitere Schritte kann man sich aber sowiso ersparen,
da das Verhältnis der Kondensatoren C1 / C2 ,
welches die Verstärkung bestimmt, eh nicht in so einen feinen Raster,
wie Widerstände, zu bekommen ist.
Durch gleichsetzen aller Kondensatoren C1 = C2 = C3 = C wird die AC-Verstärkung für hohe Frequenzen V = - 1
Wenn ich nun wieder folgende Abhänigkeit definiere R1 n = R = R2 / n bekomme ich folgendes.
→ T = RC und n = 3 / 2D
Damit ergibt sich dann folgende Tabelle:
MLF-HP Charakteristik Welligkeit | Güte Q | Dämpfung D = 1 / 2Q |
n für R1 n = R = R2 / n |
---|---|---|---|
ungedämpft | Q = ∞ | D = 0 | nicht möglich |
Q = 10 | D = 1 / 20 = 0,05 | 30 | |
Q = 3 | D = 1 / 6 ≈ 0,1667 | 9 | |
realistisches Maximum | Q = 1,5 | D = 1 / 3 ≈ 0,3333 | 4,5 |
Tschebyscheff 3 dB | Q ≈ 1,304 | D ≈ 0,3833 | ≈ 3,914 |
Tschebyscheff 2 dB | Q ≈ 1,129 | D ≈ 0,4430 | ≈ 3,386 |
Tschebyscheff 1,5 dB | Q = 1 | D = 0,5 | 3 |
Tschebyscheff 1 dB | Q ≈ 0,957 | D ≈ 0,5227 | ≈ 2,287 |
Butterworth ε = 0 | Q = D = √(0,5) ≈ 0,707 | ≈ 2,121 | |
Bessel | Q ≈ 0,5774 | D ≈ 0,8660 | ≈ 1,732 |
kritische Dämpfung | Q = 0,5 | D = 1 | 1,5 |
Zum Anfang
Um einen Bandpass zu erhalten,
reicht es nicht mehr aus nur Kondensatoren mit Widerständen zu vertauschen.
Zumindest ist ein Bandpass ein
DT2-System
mit folgender Gleichung.
G(s) = b1s / ( a2s2 + a1s + 1 )
Die entsprechende Schaltung lässt sich beispielsweise als Sallen-Key Bandpass wie folgt realisieren.
Im Vergleich zum Sallen-Key-Tiefpass ist die Konstante 2DT gänzlich anders.
V = (R4 + R5) / R4
b1 = R2C2V R3 / (R1 + R3)
a2 = T2 = R1R2C1C2 R3 / (R1 + R3)
a1 = 2DT = (R1R3C1 + R1R3C2
+ R2R3C2 - R1R2C2V
+ R1R2C2)
/ (R1 + R3)
Für R1 = R2 = R3 = R und C1 = C = C2 und der Verstärkung V = (R4 + R5 ) / R4
ergibt sich…
→ T = √(2) RC / 2 und 4DT = (4 - V) RC bzw. V = 4 - 2D √2
Damit ergibt sich dann folgende Tabelle:
SK-BP Charakteristik Welligkeit | Güte Q | Dämpfung D = 1 / 2Q | Verstärkung V |
---|---|---|---|
ungedämpft | Q = ∞ | D = 0 | nicht möglich |
Q = 10 | D = 1 / 20 = 0,05 | ≈ 3,859 | |
Q = 3 | D = 1 / 6 ≈ 0,1667 | ≈ 3,529 | |
realistisches Maximum | Q = 1,5 | D = 1 / 3 ≈ 0,3333 | ≈ 3,057 |
Tschebyscheff 3 dB | Q ≈ 1,304 | D ≈ 0,3833 | ≈ 2,916 |
Tschebyscheff 2 dB | Q ≈ 1,129 | D ≈ 0,4430 | ≈ 2,747 |
Tschebyscheff 1,5 dB | Q = 1 | D = 0,5 | ≈ 2,586 |
Tschebyscheff 1 dB | Q ≈ 0,957 | D ≈ 0,5227 | ≈ 2,522 |
Butterworth ε = 0 | Q = D = √(0,5) ≈ 0,707 | 2 | |
Bessel | Q ≈ 0,5774 | D ≈ 0,8660 | ≈ 1,550 |
kritische Dämpfung | Q = 0,5 | D = 1 | ≈ 1,172 |
Zum Anfang
Für V = 1 und geschicktes Verstimmung der Widerstände oder Kondensatoren gemäß…
R1 n = R3 n = R = R2 / n und C1m = C = C2 / m
erhält man…
→ T = √(2) RC / 2 und 2DT = RC (1 / (n m) + m / n + n m)
bzw. n2 - √(2) 2D n / m + 1 / m2 + 1 = 0
→ n1,2 = √(2) D / m
± √( 2 D2 / m2 - 1 / m2 - 1)
Für m2 = 1 muß D2 > 1
sein, was uninteressant ist.
Wenn ich beispielsweise m2 = 0,1 oder m2 = 0,01
setze, bekomme ich folgende Tabelle
SK-Charakteristik Welligkeit | Güte Q = 0,5 n für C1 = C2 | Dämpfung D = 1 / 2Q |
n für C1 = 10 C2 | n für C1 = 100 C2 |
---|---|---|---|---|
ungedämpft | Q = ∞ | D = 0 | nicht möglich | nicht möglich |
Q = 10 | D = 1 / 20 = 0,05 | nicht möglich | nicht möglich | |
Q = 3 | D = 1 / 6 ≈ 0,1667 | nicht möglich | nicht möglich | |
Q = 1,5 | D = 1 / 3 ≈ 0,3333 | nicht möglich | ≈ 8,064 | |
Tschebyscheff 3 dB | Q ≈ 1,304 | D ≈ 0,3833 | nicht möglich | ≈ 9,707 |
Tschebyscheff 2 dB | Q ≈ 1,129 | D ≈ 0,4430 | nicht möglich | ≈ 11,58 |
Tschebyscheff 1,5 dB | Q = 1 | D = 0,5 | ≈ 3,151 | ≈ 13,32 |
Tschebyscheff 1 dB | Q ≈ 0,957 | D ≈ 0,5227 | ≈ 3,479 | ≈ 14,00 |
Butterworth ε = 0 | Q = D = √(0,5) ≈ 0,707 | ≈ 5,578 | ≈ 19,43 | |
Bessel | Q ≈ 0,5774 | D ≈ 0,8660 | ≈ 7,165 | ≈ 24,04 |
kritische Dämpfung | Q = 0,5 | D = 1 | ≈ 8,452 | ≈ 27,89 |
Zum Anfang
Bei dem MLF-Bandpass wird die Schaltung, vergleichbar dem SK-Bandpass, auch ein wenig komplexer.
Allgemein ist ein Bandpass ein
DT2-System
mit folgender Gleichung.
G(s) = b1s / ( a2s2 + a1s + 1 )
Der invertierende Filter lässt sich auch in MLF - multible loop feedback Topologie realisieren.
Im Vergleich zum SK-Bandpass sind die Konstanten ähnlich aufgebaut.
b1 = - R2C3
× R1 / (R1 + R3)
a2 = T2 = R2R3C2C3
× R1 / (R1 + R3)
a1 = 2DT = R3 (C2 + C3)
× R1 / (R1 + R3)
Durch folgende Wahl lässt sich die Dämpfung ändern, ohne die Eckfrequenz zu ändern.
R1 = R n; R2 = R (n +1) / n; R = R3 und C2 = C = C3
Entsprechend kann man über die "Verstimmung" der Widerstände R1 und R2 die Dämpfung ändern.
→ T = RC und D = n / (n + 1) → n = D / (1 - D)
SK-Charakteristik Welligkeit | Güte Q | Dämpfung D = 1 / 2Q | n |
---|---|---|---|
ungedämpft | Q = ∞ | D = 0 | nicht möglich |
Q = 10 | D = 1 / 20 = 0,05 | ≈ 0,053 | |
Q = 3 | D = 1 / 6 ≈ 0,1667 | ≈ 0,200 | |
realistisches Maximum | Q = 1,5 | D = 1 / 3 ≈ 0,3333 | ≈ 0,500 |
Tschebyscheff 3 dB | Q ≈ 1,304 | D ≈ 0,3833 | ≈ 0,621 |
Tschebyscheff 2 dB | Q ≈ 1,129 | D ≈ 0,4430 | ≈ 0,795 |
Tschebyscheff 1,5 dB | Q = 1 | D = 0,5 | ≈ 1,000 |
Tschebyscheff 1 dB | Q ≈ 0,957 | D ≈ 0,5227 | ≈ 1,095 |
Butterworth ε = 0 | Q = D = √(0,5) ≈ 0,707 | ≈ 2,414 | |
Bessel | Q ≈ 0,5774 | D ≈ 0,8660 | ≈ 6,466 |
kritische Dämpfung | Q = 0,5 | D = 1 | nicht möglich |
Zum Anfang
Bansperren via Hoch- und Tiefpass betrachte ich hier nicht…
Andere Bezeichnungen für eine Bandsperre sind Kerbfilter oder Notchfilter.
Allgemein ist eine Bandsperre ein PD2T2-System mit folgender Gleichung.
G(s) = (b2 s2 + 1) / ( a2 s2 + a1 s + 1 )
Die passive Bandsperre via
Doppel-T-Filter hat noch den Nachteil der konstanten Dämpfung D = 2.
Dies lässt sich durch Hinzunahme eines OPs verbessern.
Das grundsätzliche Problem der Toleranzen der Kapazitäten bleibt jedoch bestehen,
sodaß diese Schaltung kaum Anwendung findet.
Die Berechnung erfolgt ähnlich wie bei der passiven Doppel-T-Bandsperre.
(E - B) jω C + (G - B) jω C = 2 (B - A) / R → jω RC E/2 + jω RC A / (2V) + A = B (1 + jω RC)
(E - D) / R + (G - D) / R = 2 D jω C → E/2 + A / (2V) = D (1 + jω RC)
(G - D) / R + (G - B) jω C = 0 → (1 + jω RC) A/V - D - B jω RC = 0
A = G (R1 + R2) / R1 → G = A / V; 1 ≤ V < 2
Nun kann man die 1. und 2. Gleichung in die 3. einsetzen und
mit Hilfe der 4. Gleichung G durch A ersetzen und es folgt.
A / E = (1 - ω2 R2 C2 ) V / ( - ω2 R2 C2 + jω RC (4 - 2V) + 1 )
T = RC; 2DT = RC (4 - 2V)
Ein Verstärkung von V = 2 ergibt theoretisch
(ideale Bauteile vorausgesetzt) keine Dämpfung.
Zum Anfang
Es gibt noch eine Variante, welche gegenüber der ursprünglichen Doppel-T-Bandsperre
nicht zu einer höheren Verstärkung bei höherer Güte führt.
Die Berechnung erfolgt ähnlich wie bei der vorherige Doppel-T-Bandsperre.
V ist hier jedoch statt eines Verstärkungsfaktors ein Teilerfaktor.
(E - B) jω C + (A - B) jω C + 2 (G - B) / R = 0 → jω RC E/2 + jω RC A/2 + VA = B (1 + jω RC)
(E - D) / R + (A - D) / R = (D - G) jω 2C → E/2 + A/2 + VA jω RC = D (1 + jω RC)
(A - D) / R + (A - B) jω C = 0 → D + B jω RC - A (1 + jω RC) = 0
Ist der Spannungsteiler, bestehend aus R1 & R2 niederohmig,
im Vergleich zur übrigen Schaltung, kann ich folgendes annehmen.
A R1 / (R1 + R2) = G → A V = G 0 ≤ V ≤ 1
Nun kann man die 1. und 2. Gleichung in die 3. einsetzen und
mit Hilfe der 4. Gleichung G durch A ersetzen und es folgt.
A / E = (1 - ω2 R2C2 ) / ( - ω2 R2C2 + jω 4RC (1 - V) + 1 )
T = RC; 2DT = 4RC (1 - V) → V = 1 - D/2
Zum Anfang
Das grundsätzliche Problem, dass man beim Doppel-T-Filter möglichst identische Kondensatoren benötigt,
lässt sich umgehen, indem man eine
RLC-Bandsperre mit einer
virtuellen Induktivität aufbaut.
Die Bauteile R1, C2, R3, R4 und R5 sind bewusst
wie bei der Schaltung für die virtuelle Induktivität gewählt worden
um eine Wiedererkennung zu erleichtern.
Im Normalfall regelt ein OP so aus, dass die Eingangsdifferenzspannung Null ist.
Entsprechend ist an 3 Punkten die gleiche Spannung D.
Um zur Induktivität zu gelangen, fange ich bei R5 an und hangel mich dann bis zu R1 durch.
(E - D) / R5 = (D - A) / R4
(E - D) R4 / (R3 R5) = (D - A) / R3 = (B - D) jωC2
(E - D) R4 / (jωC2 R1 R3 R5) = (B - D) / R1 = I1
Zwischen den Anschlußpunkten D & E befindet sich also die virtuelle induktive Impedanz Z1.
(E - D) / I1 = Z1 = jωC2 R1 R3 R5 / R4
Entsprechend ergibt sich folgende Schaltung.
(E - D) (1 / R6 + jωC1 + R4 / (jωC2 R1 R3 R5) ) = D / R7
Wenn R4 = R5 und R6 = R7 gesetzt wird, ergibt sich folgendes.
D = E (-ω2 R1 R3 C1 C2 + jω R1 R3 C2 / R6 + 1) / ( -ω2 R1 R3 C1 C2 + 2 jω R1 R3 C2 / R6 + 1 )
Die Ausgangsspannung A im Verhältnis zur Spannung D ergibt sich aus erster Gleichung folgendes.
A = 2D - E
Beides zusammen gesetzt ergibt.
A / E = (-ω2 R1 R3 C1 C2 + 1) / ( -ω2 R1 R3 C1 C2 + 2 jω R1 R3 C2 / R6 + 1 )
Wobei T2 = R1 R3 C1 C2 und
2DT = 2 R1 R3 C2 / R6
→ D = 1 / R6 × √(R1 R2 C2 / C1 )
Zum Vergleich, eine Bandsperre ist ein PD2T2-System mit folgender Gleichung.
G(s) = (b2 s2 + 1) / ( a2 s2 + a1 s + 1 )
Zum Anfang
biancahoegel.de
Filter (Elektrotechnik)
changpuak.ch
Fliege Notch Filter
circuitlab.com
Fliege Filter with a virtual ground - Narrow band filter PUBLIC
crbond.com
Filter Algorithms, Parameters and Software for Electronic Circuits
dr-seifert-online.de
NichtinvSallenandKeyTiefHochpass.pdf
hs-karlsruhe.de
PT2-Glied
electronicdeveloper.de
Doppel-T-Filter, Kerbfilter, Notchfilter - Online calculator
electronics-tutorials.ws
Aktiver Tiefpassfilter
elektroniktutor.de
Aktive elektrische Filterschaltungen
fritz.dellsperger.net
Intermodulation Calculator, Zweitore, Filter-Design, etc.
gatech.edu
Discrete_01.pdf - SECOND-ORDER ACTIVE FILTERS
RCL low-pass, sallen-key, MLF, Tow-Thomas, high-pass
gunthard-kraus.de
Leichter Einstieg in die SPICE-Schaltungssimulation mit LTspice IV oder VII
hinkel-elektronik.de
Elektrotechnik Formelsammlung.pdf
ijdata.com
verkaufen LspCAD
matheplanet.com
maximintegrated.com
APPLICATION NOTE 1762
A Beginner's Guide to Filter Topologies
netzmafia.de
Texas_SingleSupply.pdf oder SLOA058.pdf
summing, difference, simulated inductor, Instrumentation Amplifiers,
Filter (LP, HP, AP),
(Sallen-Key, Multiple Feedback, Twin T, Fliege, Akerberg-Mossberg, BiQuad, State Variable)
netzmafia.de
Mikrocontroller, Hardware, PC und Linux
njit.edu
TUTORIAL: Introduction to Filter Design
Butterworth, Chebyshev, Sallen-Key, Tow-Thomas
numericana.com
Linear Filters - Network Synthesis and Design
kecktaylor.com
Free Analog Filter Program
passific.fr
502af904572be-Polycop Electro-Filtrage - 2012 - Compte.pdf
Filtrage Analogique - Polytech’Montpellier
rfwireless-world.com
Difference between Butterworth filter vs Chebyshev vs Bessel vs Elliptic filter
sciencedirect.com
Sallen Key
softwaredidaktik.de
Programm Aktiv Filter (nicht gekauft)
studyflix.de
Das PT2-Glied
ti.com
Filter design tool
ti.com
slyt235.pdf - High-speed notch filters
Twin-T notch filter, Fliege notch filter
ti.com
sloa093.pdf - Filter Design in Thirty Seconds
LP, HP, BP, BS
Zum Anfang