Auf der nächsten Seite habe ich…
allgemeine OP-Schaltungen Addierer, Subtrahierer, etc.
aktive Filter nach Charakter und Aufbau FIR, IIR
aktive Filter-Schaltungen TP, HP, BP, BS, etc.
spezielle Filter EQ, BiQuad, state variable Filter, Oszillator etc.
Zum Anfang
Das Schöne der Reihenschaltung ist,
dass der Strom I durch jeden Widerstand R der Gleiche ist.
Dieser Strom berechnet sich aus den Gesamtwiderstand
I = U / RGes. = U / (R1 + R2)
Entsprechend ist die Spannung an R1: R1 x I = U x R1 /(R1 + R2) = U1
Zum Anfang
Induktivitäten verhalten sich ähnlich,
nur dass dann noch eine Frequenz f mit rein spielt.
Eine ideale Induktivität L hat bei der Frequenz 0, also DC, keinen Widerstand
und bei unendlicher Frequenz einen unendlichen Widerstand.
Wenn ich an einer Induktivität eine Wechselspannung einer Frequenz anlege,
folgt der Strom zwar auch einer Sinusschwingung, aber halt 90° versetzt.
Die 90° kann ich auch mit der komplexen Zahl
j = √(-1) darstellen.
Drehe ich zweimal um 90°, ist das wie j x j = -1 ≙ 180°
Drehe ich mich weiter, komme ich bei 360°,
entsprechend -1 x -1 = 1 wieder am Ursprung an.
Bei einem Einheitskreis (Radius = 1) habe ich dann den Umfang von 2π
oder Winkel in Bogenmaß von 2π ≙ 360° umschritten.
Entsprechend ist die Kreisfrequenz jω = 2π f
Wegen der Regel j x j = -1 gilt auch 1 / j = -j ≙ -90°
Der komplexe Widerstand einer Induktivität stellt sich also wie folgt dar.
ZL = jω L
Und die Gleichung für einen induktiven Spannungsteiler sieht wie folgt aus:
U x jω L1 /(jω L1 + jω L2) = U x L1 /(L1 + L2) = U1
Zum Anfang
Eine Kapazität, verhält sich im Vergleich zu einer Induktivität,
umgekehrt proportional.
D.h. bleibt die Spannung konstant, fließt weder ein Lade-, noch ein Entlade-Strom.
Der Widerstand bei ω = 0
ist der komplexe Widerstand ZC = -j ∞
Entsprechend bei ω → ∞ wird ZC → 0 also ZC = 1 / jω C
Ein kapaziärer Spannungsteiler sieht dann wie folgt aus.
U / jω C1 /(1 / jω C1 + 1 / jω C2)
= U / C1 /(1 / C1 + 1 / C2)
=
U C1 C2 / (C1 + C2) = U1
Zum Anfang
Spätestens hier muß ich mich mit der Knotenregel
(Summe aller rein fließenden Ströme entspricht der Summe der heraus fließenden)
und der Maschenregel
(Summe aller Spannungen in einer Masche ergeben Null)
auseinander setzen.
Für das obige Gebilde kann ich also eine unabhängige Gleichung mit einen Knoten angeben
und zwei Gleichungen für die Maschen.
Den Knoten wandel ich um zu:
UA/RA + UB/RB - C/RC = 0
Dann setze ich darin die beiden Maschen-Gleichungen ein:
(A - C)/RA + (B - C)/RB - C/RC = 0
Das ergibt dann:
A RB RC - C RB RC + B RA RC - C RA RC - C RA RB = 0
Also: (A RB RC + B RA RC) / (RA RB + RB RC + RA RC) = C
Zum Anfang
Ein Tiefpass kann ich auch bezeichnen als ein zunächst proportionales System,
was dann bei höheren Frequenzen in der Amplitude abfällt.
entsprechend PT1-System.
Die Gleichung ist vergleichbar mit der des Spannungsteilers:
1 / (jω C x (R + 1 / jω C)) = 1 / (1 + jω R C) = A / E
Betrag der Amplitude ist:
|A/E| = √(Re2 + Im2)
Die Phase berechnet sich nur im 1. Quadrant aus dem Arcus-Tangenz
daher hier abgewandelt zu arctan2.
φ = arctan2(Re / Im) = - arccos( Re / |A/E| ) für Im < 0 (hier der Fall)
An der Eckfrequenz ω0 des PT1-Systems,
ist der Realteil gleich dem Imaginäteil.
Also R = | ZC |
R = 1/ (ω0C) → ω0 = 1/(RC)
Also ist die Phase bei ω0 → φ0 = -45°
und die Amplitude ist |A/E|ω0 = 1/ √2 ≈ -3 dB
Entsprechende Darstellung des Betrages der Amplitude und der Phase
sieht qualitativ wie folgt aus.
Für DC, also für ω = 0 ist die Amplitude = 1 und die Phase = 0°
Oberhalb der Eckfrequenz ist bei einem Tiefpass 1. Ordnung TP1
oder einem PT1-System
ein Amplitudenabfall von 1/10 je 10 facher Frequenz zu verzeichnen.
Dieser Abfall von -1:1 entspricht -20 dB / Dekade bzw. ca. -6 dB / Oktave
Ist ω → ∞ geht die Amplitude gegen 0 und die Phase gegen -90°
Im Polardiagramm eingezeichnet, ist der Fall ω0, wo UC die gleiche Größe wie UR hat.
Wie eine davor geschaltete Schaltung, wie z.B. ein Verstärker,
belastet wird, ist meist auch von Interesse.
Die Impedanz des RC-Gliedes ist wie folgt:
E / I = R + 1 / jωC = (1 + jωRC ) / jωC = Z
Zum Anfang
Die Gleichung ist wieder vergleichbar mit der des Spannungsteilers:
A / E = jωRC / (1 + jωRC)
Um die Amplitude und Phase darzustellen,
ist es nötig im Nenner nur einen Realteil zu haben.
Dies erreicht man, indem man Zähler und Nenner
mit den konjugiert-komplexen des Nenners multipliziert.
In diesem Fall ist das 1 - jωRC
A / E = (jωRC + ω2R2C2) / (1 + ω2R2C2)
An der Eckfrequenz ω0 ist der Realteil gleich dem Imaginäteil.
ω0 RC = ω02 R2C2
→ ω0 = 1/ (RC)
Die Phase bei ω0 ist φ0 = +45°
und die Amplitude ergibt sich zu | A/E |ω0 = √2 / 2 ≈ -3 dB
Für DC, also für ω = 0 ist die Amplitude = 0 und die Phase = +90°
Unterhalb der Eckfrequenz ist bei einem Hochpass HP1 oder DT1-System
ein Amplitudenanstieg von 10 je 10 facher Frequenz zu verzeichnen.
Bzw. eine Steigung von 1:1 entspricht 20 dB / Dekade bzw. ca. 6 dB / Oktave
Ist ω → ∞ geht die Amplitude gegen 1 und die Phase gegen 0°
Entsprechende Darstellung des Betrages der Amplitude und der Phase sieht qualitativ wie folgt aus.
Vergleicht man nun den RC-Tiefpaß mit den RC-Hochpaß fällt auf,
daß der relative Phasenverlauf gleich ist.
Das deckt sich damit, daß in beiden Fällen der Nenner 1 + ω2R2 C2 gleich ist.
Absolut ist die Phase um 90° verschieden, welches sich durch den unterschiedlichen Zähler erklärt.
Die Impedanz des RC-Gliedes ist wie folgt:
E / I = R + 1 / jωC = (1 + jωRC ) / jωC = Z
Zum Anfang
Die Gleichung ist wieder vergleichbar mit der des Spannungsteilers
Im Vergleich zum RC-Hochpass kann RC durch L/R ersetzt werden.
A / E = jω L / (R + jω L) = jω L/R / (1 + jω L/R)
Einen Hochpass HP 1. Ordnung kann ich mir auch vorstellen wie
die Reihenschaltung eines Differentiators (im Zähler → +90°),
gefolgt von einem Tiefpass 1. Ordnung (im Nenner), entsprechend DT1-System.
Betrag der Amplitude ist wie immer: | A/E | = √(Re2 + Im2)
Die Phase berechnet sich aus arctan2
φ = arctan2(Re / Im)
= + arccos( Re / | A/E | ) für Im > 0 (hier der Fall)
An der Eckfrequenz ω0 ist der Realteil gleich dem Imaginäteil.
ω0RL = ω02L2
→ ω0 = R/L
Die Phase bei ω0 ist φ0 = +45°
und die Amplitude ist | A/E |ω0 = √2 / 2 ≈ -3 dB
Entsprechende Darstellung des Betrages der Amplitude und der Phase sieht qualitativ wie folgt aus.
Also unterhalb der Eckfrequenz ist bei einem Hochpass HP1 oder DT1-System
ein Amplitudenanstieg von 10 je 10 facher Frequenz zu verzeichnen.
Bzw. eine Steigung von 1:1 entspricht 20 dB / Dekade bzw. ca. 6 dB / Oktave
Ist ω → ∞ geht die Amplitude gegen 1 und die Phase gegen 0°
Die Impedanz des RL-Gliedes ist wie folgt:
E / I = R + jωL = Z
Zum Anfang
Die Gleichung des Spannungsteilers ergibt sich wie folgt:
1 / jωC x 1 / Rges = 1 / (jωC x( 1/jωC + R + jωL) ) = 1/ ( 1 + jω RC - ω2 LC) = A / E
Ein Tiefpass 2. Ordnung wird entsprechend auch als PT2-System genannt,
da im Nenner eine Differentialgleichung 2. Ordnung steht.
Führe ich noch folgende Vereinfachung ein
jω + δ = s
bzw. -ω2 + 2 jωδ + δ2 = s2
ergibt sich:
jω ist der Imaginärteil und
δ ist hier der vernachlässigte Realteil…
1/ ( LCs2 + RCs + 1 ) = A / E
Wenn ich mind. zwei Energiespeicher habe, welche sich gegenseitig beeinflussen können,
ist es möglich, dass sich ein schwingfähiges System ergibt.
Also betrachte ich erst einmal nur den Ideal-Fall,
einer ungedämpften Schwingung,
welche aus den zwei Energiespeicher ohne Widerstand besteht.
In der Resonanzfrequenz ω0 ,
ist der kapazitive Widerstand gleich dem negativen induktiven Widerstand.
Die impedanzen heben sich also exakt auf, was einem Kurzschluss entspricht.
jω0 L = - 1 / (jω0 C) → ω02 = 1 / T2 = 1 / LC
Für eine schwach gedämpfte Schwingung verwende ich eher ω0.± …
Habe ich eine hohe Dämpfung,
verhält sich das PT2-System
wie zwei entkopplte hintereinander geschaltete PT1-Systeme,
welche dann nicht mehr schwingfähig sind.
Für diesen asympotischen Kriechfall ist, statt ω0,
eher T1,2 angebracht.
Um herauszubekommen, wann welcher Fall eintritt,
bestimme ich erst einmal die Lösung der Differential-Gleichung des Nenners.
Dafür wandle ich den Nenner so um, dass ich ihn mit der pq-Formel bearbeiten kann.
x2 + px + q = 0 ≙ s2 + R/L s + ω02
x1,2 = - p / 2 ± √( (p/2)2 - q ) ≙ s1,2 = - R / 2L ± √( (R/2L)2 - ω02 )
Die Grenze zwischen schwingfähigem System und keinem ist,
wenn der Term unter der Wurzel = 0 ist.
Für diesen Fall definiere ich zunächst willkührlich eine Dämpfung D = 1
Also D > 1 → Wurzel ist positiv;
Lösung mit 2 reellen Zahlen T1,2
→2x PT1 (nicht schwingfähig)
D < 0 → Wurzel ist negativ mit konjugiert komplexer Lösung
→ schwingfähiges PT2-System
(R/2L)2 - (Dω0)2 = 0 → R/L /ω02 = 2D ω0 /ω02 → RC = 2D / ω0 = 2DT
ω0, T und D eingesetzt, ergibt folgende allgemeine Gleichungen
wobei G(s) die Übertragungsfunktion darstellt
A / E = 1/ ( T2s2 + 2DTs + 1 ) = 1/ ( s2/ω02 + 2Ds/ω0 + 1 ) = G(s)
Entsprechend sind die Nullstellen des Nennerpolynoms oder das Ergebnis der pq-Formel…
s1,2 = - Dω0 ± √ ( (Dω0)2 - ω02 ) = - Dω0 ± ω0 √ ( (D2 - 1 )
Daraus folgt.
Um die Arbeit zu erleichtern, habe ich die Formel der Übertragungsfunktion auf 1 für ω = ω0 normiert
Betrag und Phase habe hier mal mit einer Tabellenkalkulation
PT2.ods
(libreoffice.org) ermittelt,
um zu zeigen, dass man dafür keine Spezial-Programme benötigt.
Entsprechende Darstellung des Betrages der Amplitude und der Phase
sieht für eine bestimmte Dämpfung D wie folgt aus.
Das Amplituden-Diagramm ist möglichst so skaliert, dass eine 10 fache Frequenz
genauso breit ist, wie eine 10 fache Amplitude hoch ist.
Damit kann man hoffentlich gut erkennen, dass oberhalb der Eckfrequenz,
bei einem Tiefpass 2. Ordnung, also TP2 ein Amplitudenabfall
von 20 je 10 facher Frequenz zu erkennen ist.
Beziehungsweise hat ein PT2-System eine Steigung von -2,
welches -40 dB / Dekade entspricht.
An der Eckfrequenz ω0 ist die Phase bereits φ0 = -90°, was -π / 2 ≈ -1,570796 entspricht.
In der Bildebene (x-Achse = Realteil; y-Achse = Imaginärteil) sieht man
sowohl Amplitude alsauch Phase auf einen Blick.
Die Impedanz am Eingang des RCL-Gliedes ist wie folgt:
E / I = R + jωL + 1 / jωC = ( -ω2LC + jωRC +1 ) / jωC = Z
Für beliebige Frequenzen wirkt im Nenner ein Integrierer (1/jωC) → Steigung -1:1
Für D > 1 wirkt der Zähler wie zwei Hochpässe unterschiedlicher Frequenz (1:1 und später 1:2)
Für D < 1 fällt die Eckfrequenz der Hochpässe zusammen.
Alles zusammen ergibt für ω → 0 -1:1,
dann keine Steigung und dann für ω → ∞ 1:1
Für den Resonanzfall ergibt sich die größte Last bzw. kleinste Impedanz
Z(ω0) = R; für ω02 = 1 / LC
und D = R/2 √(C/L)
Für ω ≠ ω0 ist Z > Z(ω0)
Anbei eine OpenOffice-Berechnung der Impedanz mit
C = 1,5 µF und
L = 15 mH → f = 2 πω ≈ 1 kHz
R variiert zwischen 20 Ω, 200 Ω und 2 kΩ
bzw. einer Dämpfung D von 0,1, 1 und 10
Siehe Tabellenkalkulation
impedance.ods (Libre-Office).
Die nicht ganz symmetrische Darstellung kommt von den wenigen Stützpunkten.
Zum Anfang
Entsprechend dem Tiefpass 2. Ordnung…
A / E =
jωRC / ( - ω2 LC + jωRC + 1)
=
2DTs / ( T2s2 + 2DTs + 1 ) =
2Ds/ω0 /
( s2/ω02 + 2Ds/ω0 + 1 )
= G(s)
Resonanzfrequenz und Dämpfung ergeben sich zu
T2 = LC; 2DT = RC → 2D = R √(C/L)
Um die Arbeit wieder zu erleichtern,
habe ich die Formel der Übertragungsfunktion auf 1 für ω = ω0 normiert
Einen Bandpass 1. Ordnung kann ich mir auch vorstellen wie die Reihenschaltung
eines Differentiators (im Zähler), gefolgt von einem Tiefpass 2. Ordnung. (im Nenner)
entsprechend DT2-System.
Aufgrund der Beschreibung kann ich schon den Frequenzgang skizzieren.
Aufgrund des Differentiators fange ich links bei ω → 0 mit einer Steigung von 1:1 an.
Bei ω0 knicke ich dann 2 Mal ab, sodass ich dann auf eine Steigung von -1:1 komme.
Siehe Tabellenkalkulation DT2.ods (Libre-Office).
Die Impedanz am Eingang des RCL-Gliedes ist wie folgt:
E / I = R + jωL + 1 / jωC = ( -ω2LC + jωRC +1 ) / jωC = Z
Z(ω0) = R; für ω02 = 1 / LC und D = R/2 √(C/L)
Für ω ≠ ω0 ist Z > Z(ω0)
Zum Anfang
In diesem Fall ist nicht der Strom durch alle Bauteile konstant,
sondern teilt sich auf C und L auf.
I = (E - A) / R = A / jωL + A jωC
Somit ergibt sich
A / E = jω L/R / ( -ω2 LC +jω L/R + 1 )
= 2DTs / ( T2s2 + 2DTs + 1 )
Resonanzfrequenz und Dämpfung ergeben sich zu
T2 = LC; 2DT = L/R → 2D = 1/R √(L/C)
Die Impedanz am Eingang des RCL-Gliedes ist wie folgt:
E / I = R + (jωL || 1 / jωC) = jωL / ( 1 - ω2LC ) + R = Z
= (R + jωL - ω2LCR) / (1 - ω2LC)
= R (1 + jωL/R - ω2LC) / (1 - ω2LC) = Z
Z(ω = 0) = R Da L einen Kurzschluss erzeugt
Z(ω → ∞) = R Da C einen Kurzschluss erzeugt
Bei idealen Bauteilen ergibt sich theoretisch im Resonanzfall folgendes
Z(ω0) → ∞
für ω02 = 1 / LC
und D = 1/2R √(L/C)
Anbei eine OpenOffice-Berechnung der Impedanz mit
C = 1,5 µF und
L = 15 mH → f = 2 πω ≈ 1 kHz
R variiert zwischen 5 Ω, 50 Ω und 500 Ω
bzw. einer Dämpfung D von 10, 1 und 0,1
Siehe Tabellenkalkulation
impedance.ods (Libre-Office).
Die nicht ganz symmetrische Darstellung kommt von den wenigen Stützpunkten.
Zum Anfang
In diesem Fall geht der Strom zunächst durch den Serienschaltung aus R1 & C1
und teilt sich dann auf die Parallelschaltung aus R2 & C2 auf.
I = (E - A) / (R1 + 1/jωC1)
= (E - A) jω C1 / (1 + jω R1 C1 )
= A / R2 + A jω C2
Für R1 = R2 und C1 = C2 ergibt sich
A / E = jω RC / ( -ω2 C2R2 +jω 3RC + 1 )
= k Ts / ( T2s2 + 2DTs + 1 )
Resonanzfrequenz und Dämpfung ergeben sich zu
T2 = (RC)2; 2DT = 3RC → D = 1,5
Nach Realteil und Imaginärteil aufgeschlüsselt ergibt folgendes.
A / E = (jωRC - jω3R3C3 + 3 ω2R2C2) /
(1 + 7 ω2R2C2 + ω4R4C4)
= ( Imaginärteil + Realteil ) / realer Nenner
Die maximale Amplitude im Resonanzfall für ω = ω0
enthält also nur einen Realteil mit folgender Amplitude.
A / E (ω0) = 3 / 9
Die Impedanz am Eingang des RC-Bandpasses ist wie folgt:
E / I = R1 + 1/jωC1 + ( R2 || 1 / jωC2 ) = Z
= ( 1 + jω (R1C1 + R2C1 + R2C2)
- ω2R1R2C1C2 ) /
( jωC1 - ω2R1C1C2)
= R2 ( 1 + jω (R1C1 + R2C1 + R2C2)
- ω2R1R2C1C2 ) /
( jωR2C1 (1 + jωR1C2))
Der Nenner wirkt also wie ein Integierer → -1:1
und ein PT1-System → -1:1
Der Zähler wirkt die Parallelschaltung eines P-, eines D- → 1:1
und eines D2-Systems → 1:2
(D2 = doppelter Differenzierer)
Für ω = 0 ist Z → ∞ -1:1
Für ω → ∞ ist Z = R1 keine Steigung
Für R = R1 = R1 und C = C1 = C1
vereinfacht sich die Impedanz zu
Z = ( 1 + jω 3 RC - ω2R2C2 ) /
( jωC - ω2RC2 )
= R ( 1 + jω 3 RC - ω2R2C2 ) /
( jωRC ( 1 + jωRC) )
Für ω0 = 1 / RC ergibt sich die Impedanz zu
Z(ω0) = (1 - j) 3R / 2
Zum Anfang
Zur Erinnerung:
ω02 = 1 / T2 = 1 / LC; RC = 2D / ω0 = 2DT
Dank der Überlegungen beim Tiefpass 2. Ordnung, lässt sich vieles auf den Hochpass übertragen.
A / E = - ω2 LC / (- ω2 LC + jωRC + 1) = T2s2 / ( T2s2 + 2DTs + 1 ) = s2/ω02 / ( s2/ω02 + 2Ds/ω0 + 1 ) = G(s)
Um die Arbeit wieder zu erleichtern, habe ich die Formel der Übertragungsfunktion auf 1 für ω = ω0 normiert
Einen Hochpass HP 2. Ordnung kann ich mir auch vorstellen wie die Reihenschaltung zweier
Differentiatoren (im Zähler),
gefolgt von einem Tiefpass 2. Ordnung. (im Nenner) entsprechend D2T2-System.
Aufgrund der Beschreibung kann ich schon den Frequenzgang skizzieren.
Aufgrund der 2 Differentiatoren fange ich links bei ω → 0 mit einer Steigung von 2:1 an.
Bei ω0 knicke ich dann 2 Mal ab, sodass ich auf eine Horizontale komme.
Siehe Tabellenkalkulation D2T2.ods (Libre-Office).
Die Impedanz am Eingang des RCL-Gliedes ist wie folgt:
E / I = R + (jωL || 1 / jωC) = jωL / ( 1 - ω2LC ) + R = Z
Z = (R + jωL - ω2LCR) / (1 - ω2LC)
= R(1 + jωL/R - ω2LC) / (1 - ω2LC)
Z(ω = 0) = R L erzeugt einen Kurzschluss
Z(ω → ∞) = R C erzeugt einen Kurzschluss
Bei idealen Bauteilen ergibt sich theoretisch im Resonanzfall folgendes
Z(ω0) → ∞ für ω02 = 1 / LC
Zum Anfang
Den Bandpass umgedreht führt zur Bandsperre, Notch-Filter oder Kerbfilter. Entsprechend ist die Gleichung:
A / E =
(1 - ω2 LC) / (- ω2 LC + jωRC + 1)
=
(1 + T2s2) / (T2s2 + 2DTs + 1) =
(1 + s2 /ω02) /
(s2/ω02 + 2Ds/ω0 + 1)
= G(s)
Eckfrequenz und Dämpfung ergeben sich zu:
T2 = LC; 2DT = RC → 2D = R √(C/L)
Um die Arbeit wieder zu erleichtern, habe ich die Formel der Übertragungsfunktion auf 1 für ω = ω0 normiert
Eine Bandsperre 1. Ordnung kann ich mir auch vorstellen
wie die Parallelschaltung eines proportionalen Systems mit einen doppelten Differentiator (im Zähler),
gefolgt von einem Tiefpass 2. Ordnung. (im Nenner) entsprechend PD2T2-System.
Aufgrund der Beschreibung kann ich schon den Frequenzgang skizzieren.
Ich fange links bei ω → 0 mit einer Horizontalen an,
da der Differentiators noch nicht wirkt und nur der proportionale Anteil.
Bei ω0 knicke ich dann 2 Mal ab, sodass ich dann auf eine Steigung von -2:1 komme.
Später setzt sich der doppelte Differentiator durch,
sodass die anfängliche Steigung von -2:1 zwei Mal hoch geknickt wird, wieder zu einer Horizontalen wird.
Siehe Tabellenkalkulation PD2T2.ods (Libre-Office).
Die Impedanz am Eingang des RCL-Gliedes ist wie folgt:
E / I = R + (jωL || 1 / jωC) = jωL / ( 1 - ω2LC ) + R = Z
Z = (R + jωL - ω2LCR) / (1 - ω2LC)
= R(1 + jωL/R - ω2LC) / (1 - ω2LC)
Z(ω = 0) = R L erzeugt einen Kurzschluss
Z(ω → ∞) = R C erzeugt einen Kurzschluss
Bei idealen Bauteilen ergibt sich theoretisch im Resonanzfall folgendes
Z(ω0) → ∞ für ω02 = 1 / LC
und D = R/2 √(C/L)
Zum Anfang
Das Doppel-T Filter kann man sich vorstellen wie
einen RC-Tiefpaß bestehend aus R1 und C3
und einen RC-Hochpaß aus R3 und C1,
belastet mit einer komplexen Last, bestehend aus R2 und C2.
3 Knoten (im Hochpaß, im Tiefpaß und am unbelasteten Ausgang) sind zu lösen.
(E - B) jωC1 + (A - B) jωC2 = B / R3
(E - D) / R1 + (A - D) / R2 = D jωC3
(A - D) / R2 + (A - B) jωC2 = 0
Durch geschickte Wahl lassen sich die Gleichungen vereinfachen.
Hier wird R = R1 = R2 = 2R3
und 2C = 2C1 = 2C2 = C3 gesetzt.
Somit ergibt sich:
(E + A) jωRC / (1 + jωRC) = 2B
(E + A) / (1 + jωRC) = 2D
A - D + (A - B) jωRC = 0
1. und 2. in 3. Gleichung eingesetzt ergibt.
A / E = (1 - ω2R2C2 ) / (-ω2R2C2 + jω4RC + 1)
Verglichen mit der RCL-Bandsperre kommt eine vergleichbare Lösung heraus,
nur mit dem Unterschied,
daß keine Induktivität benutzt wurde
und die Dämpfung konstant ist.
T = RC 2DT = 4RC → D = 2
Zum erfolgreichen Gelingen ist es wichtig das die Bauteiltoleranzen klein sind.
Dies ist besonders bei den Kondensatoren schwierig.
Ist die Dämpfung zu hoch,
kann man sie mit einen Operationsverstärker erniedrigen.
Siehe aktives Doppel-T-Filter
Da die Impedanz am Eingang etwas komplizierter ist,
mache ich zunächst eine Grenzbetrachtung.
ZE(ω = 0) → ∞
Die größte Last ergibt sich bei hohen Frequenzen
ZE(ω → ∞) = R/4 für R = R1 = R2 = 2R3
Um uns die Schreibweise zu vereinfachen definiere ich
N = 1 + jω4RC - ω2R2C2
Das Ergebnis A = (1 - ω2R2C2)E / N
eingesetzt in D = (E + A) / 2(1 + jωRC) ergibt folgendes.
D = (1 + jωRC)E / N
Somit wird der Strom im oberen Teil zu
IR1 = (jω3RC - ω2R2C2)E / RN
Genauso verfahre ich mit den unteren Zweig
B = jωRC (1 + jωRC)E / N; IC1 = (jωRC - ω23R2C2)E / RN
Die Summe der Ströme ergibt dann
Iges = IR1 + IC1 = (jωRC - ω2R2C2) 4E / RN
Bzw. die Eingangsimpedanz lautet
E / Iges = RN / 4(jωRC - ω2R2C2) = R/4 (1 + jω4RC - ω2R2C2) / jωRC(1 + jωRC) = Z
Im Resonanzfall ergibt das
Z(ω0) = - (j + 1)R/2; für ω02 = 1 / RC
Zum Anfang
Wenn man vom RC-Bandpass mit maximaler realer Amplitude von 1/3
genau 1/3 über einen 2. Spannungsteiler abzieht,
erhält man auch eine Bandsperre.
Für R1 = R2 = R und C1 = C2 = C ergibt sich
A = jωRC E / (1 + jω3RC - ω2R2C2) - 1/3 E = - (1 - ω2R2C2) / 3(1 + jω3RC - ω2R2C2)
Der Koeffizienten-Vergleich führt zu T und D
A = k(1 + T2s2) / (T2s2 + 2DTs + 1)
k = -1/3; T = RC; 2DT = 3RC → D = 1,5
E / I = (R + 1/jωC + (R || 1/jωC) ) || 3R = Z
I = (jωRC - ω2R2C2)E / (1 + jω3RC - ω2R2C2)R + E / 3R
= (1 + jω6RC - ω24R2C2)E / 3R(1 + jω3RC - ω2R2C2)
E / I = 3R(1 + jω3RC - ω2R2C2) / (1 + jω6RC - ω24R2C2)
Z(ω = 0) = 3R
Z(ω0) = (2 - j) 3R / 5
Z(ω → ∞) = 3R / 4
Zum Anfang
Ein Allpass sollte im Idealfall immer die gleiche Amplitude haben,
aber die Phase drehen.
Anbei eine mögliche passive Schaltung aus Kondensatoren und Induktivitäten.
Dieses sogenannte Lattice-Boucherot-Glied habe ich mit Widerständen ergänzt,
da es sonst nicht an einer idealen Spannungsquelle betrieben werden kann.
Im Resonanzfall bildet die LC-Kombination einen Kurzschluss.
Für die Berechnung teilen wir das Gebilde horizontal auf halber Höhe auf
und stellen uns vor E besteht am oberen Punkt aus E/2 und am unteren Punkt aus -E/2.
Als weitere Schritt fasse ich die parallelen LC-Kombinationen zusammen.
Somit ergibt sich
Der Strom durch R, L & C sieht wie folgt aus.
I = E / (2R + 0,5 jωL + (0,5 / jωC))
= jω 2CE / (1 - ω2 LC + jω 4RC)
Aus der Maschenregel folgt…
A/2 + E/2 = UR + UC
A = - E + 2RI + 4I / (jωC)
= (- E + ω2 LCE - jω 4RCE + jω 4RCE + 2E)
/ (1 - ω2 LC + jω 4RC)
A/E = (1 + ω2 LC ) / (- ω2 LC + jω 4RC + 1)
=
(1 - T2s2) / (T2s2 + 2 DTs + 1)
=
(1 - s2 /ω02) /
(s2/ω02 + 2 Ds/ω0 + 1)
= G(s)
Entsprechend ist
T2 = LC; und 2DT = 4RC → D = 2R √(C/L)
Um die Arbeit wieder zu erleichtern,
habe ich die Formel der Übertragungsfunktion auf 1 für ω = ω0 normiert
Also jωT = jx
Siehe Tabellenkalkulation allpass.ods (Libre-Office).
Man kann schön sehen,
dass mit einer Dämpfung von D = 1 die Amplitude konstant bleibt.
Damit ergibt sich 2R = √(L/C)
Ohne die ergänzten Widerstände ist die Funktion nicht gegeben.
Der Strom durch einen Zweig habe ich bereits berechnet
I = jω2C E / (1 - ω2LC + jω4RC)
Die Gesamt-Impedanz ist somit
Z = (1 + jω4RC - ω2LC) / jω2C
Z(ω = 0) → ∞
Z(ω0) = 2R
Z(ω → ∞) → ∞
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